第5板块 8 大题考法精研(五)——最值、范围问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(五)——最值、范围问题 最值与范围问题是解析几何综合应用的常见问题，解决此类问题的一般模型是：先得到问题的表达式，如求三角形面积的最大值，即先列出三角形面积的表达式；如求斜率的取值范围，即先求得斜率的表达式．这样，就把问题转化为求函数的最值问题． [标杆题] (2023·新课标Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程； (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3.　　 [内化基本解题思维] 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 逐级演进·练清悟通 [演进题1] (判别式法)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，倾斜角为30°的直线过椭圆的左焦点F1和上顶点B，且S△ABF1＝1＋(其中A为右顶点)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点M(0，m)的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且＝2，求实数m的取值范围． [规范解答]　(1)由题可知 解得故椭圆的方程为＋y2＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，设P(0,1)，Q(0，－1)，M(0，m)，由＝2，(0，m－1)＝2(0，－1－m)，得m＝－， 同理，当Q(0,1)，P(0，－1)时，m＝，所以m＝±，当直线l的斜率存在，即m≠±时，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，联立消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q， 所以Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，即4k2－m2＋1>0①. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝②， 则＝(－x1，m－y1)，＝(x2，y2－m)， 由＝2，得－x1＝2x2③， ③代入②得－2×＝， 化简整理得k2＝④，将④代入①得>m2－1， 化简得<m2<1，解得－1<m<－或<m<1.综上，m的取值范围为∪. 思维变通升华 直线与圆锥曲线的位置问题，常见思路是先讨论直线的斜率是否存在，再联立直线与圆锥曲线，必要时根据Δ的情况得出相应的关系式，再根据题目中的其他条件，可求得参数的值或者参数之间的关系式，最后求解即可． [演进题2] (函数最值法)(2023·佛山模拟)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，M(－1,0)，N(1,0)，Q为线段MN上异于M，N的一动点，点P满足＝＝2. (1)求点P的轨迹E的方程； (2)点A，C是曲线E上两点，且在x轴上方，满足AM∥NC，求四边形AMNC面积的最大值． [规范解答]　(1)∵＝＝2， ∴|PM|＝2|QM|，|PN|＝2|QN|. ∴|PM|＋|PN|＝2(|QM|＋|QN|)＝2|MN|＝4. ∴P点轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆． 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. ∴点P的轨迹E的方程为＋＝1. (2)连接CO，延长交椭圆E于点B，连接BM，AN，CM，BN. 由椭圆对称性可知|OC|＝|OB|.又|OM|＝|ON|， ∴四边形CMBN为平行四边形． ∴CN∥BM，|CN|＝|BM|. ∴S△BOM＝S△C ON且A，M，B三点共线． ∴四边形AMNC的面积S＝S△ACM＋S△C OM＋S△C ON＝S△ACM＋S△COM＋S△BOM＝S△ABC.设直线AB：x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0)． 由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝－. ∴|AB|＝·＝＝. 又AM∥NC，∴点C到直线AB的距离即为点N到直线AB的距离． ∴点N到直线AB的距离d＝. ∴S＝|AB|·d＝＝12. 设3m2＋4＝t，则m2＝，t≥4， ∴S＝12＝12 ＝4·＝4·. 又≤，∴当＝，即m＝0时，四边形AMNC面积取得最大值，最大值为3. 思维变通升华 求解直线与椭圆综合应用中的三角形或四边形面积最值(取值范围)问题的基本思路如下： (1)假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式； (2)利用Δ>0求得变量的取值范围，得到根与系数的关系式； (3)利用根与系数的关系和点到直线距离表示出所求三角形的面积；结合三角形面积表示出四边形面积； (4)将所求面积转化为关于某一变量的