第5板块 5 大题考法精研(二)——证明问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(二)——证明问题 圆锥曲线中的证明问题在高考时有出现，主要有两大类：一是证明点线位置关系，如直线或曲线过某个点、直线平行与垂直、直线对称等问题，二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系，如相等与不相等． [标杆题] (2023·北京高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|＝4. (1)求E的方程； (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD.　　 [内化基本解题思维] 圆锥曲线中证明问题的求解策略 处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系(如证明直线垂直可转化为证明两直线的斜率之积为－1或方向向量的数量积为0，证明三点共线可转化为斜率相等或对应的向量共线)，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决. 逐级演进·练清悟通 [演进题1] (2023·盐城模拟)阿基米德(公元前287年—公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的面积为2π，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．过点(1,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线x＝4交于点F，试证明B，Q，F三点共线． [规范解答]　(1)依题意有 解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1. (2)证明：①当直线l的斜率不存在，易知A，B，或A，B.当A，B时，直线PA的方程为y＝(x＋2)，所以点F(4,3)，此时，＝，＝(2,3)，显然B，Q，F三点共线． 同理A，B时，B，Q，F三点共线． ②当直线l的斜率存在时，显然斜率k≠0，设直线l的方程为y＝k(x－1)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由整理可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 由(1)可得左、右顶点分别为P(－2,0)，Q(2,0)， 直线PA的方程为y＝(x＋2)．又因为直线PA与x＝4交于F，所以F. 所以＝(x2－2，y2)，＝. 因为(x2－2)·－2y2 ＝ ＝ ＝2k·， 又2x1x2－5(x1＋x2)＋8 ＝2×－5×＋8 ＝＝0， 所以(x2－2)－2y2＝0.所以∥. 所以B，Q，F三点共线． 思维变通升华 当斜率存在时，设出直线方程y＝k(x－1)，联立方程得到(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，利用根与系数的关系得到x1，x2间的关系，再求出F点，最后利用向量共线得到点共线即可． [演进题2] 如图，已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点为M(0,1)，N(0，－1)，右顶点为P，离心率为，直线x＝a和y＝b相交于点A，过N作直线交x轴的正半轴于B点，交椭圆于C点，连接MC交AP于点D. (1)求Γ的方程； (2)求证：＝. [规范解答]　(1)依题意可得b＝1，e＝＝，又c2＝a2－b2，解得所以Γ的方程为＋y2＝1. (2)证明：在椭圆＋y2＝1中M(0,1)，N(0，－1)， 所以kNC>0，kMC<0.设直线NC：y＝k1x－1(k1>0)，直线MC：y＝k2x＋1(k2<0)． 因为直线NC与直线MC相交于点C， 由解得 所以C. 又点C在椭圆上，所以＋2＝1，整理得k1k2＝－. 因为直线NC：y＝k1x－1交x轴的正半轴于B点，令y＝0得x＝，即B. 又因为P(2,0)，所以|OB|＝，|BP|＝2－. 所以＝＝. 因为直线MC：y＝k2x＋1交AP于点D，令x＝2得y＝2k2＋1，故D(2,2k2＋1)． 又A(2,1)，所以|AD|＝1－(2k2＋1)＝－2k2，|DP|＝2k2＋1. 所以＝.又k1k2＝－，所以k1＝－.所以＝＝＝＝.所以＝. 思维变通升华 证明与线段长度有关的等式问题，一般是利用距离公式或弦长公式写出长度表达式，再借助根与系数之间的关系或斜率、截距等证明等式两边相等． [演进题3] 已知抛物线E：y2＝2px(p>0)，过点(－1,0)的两条直线l1，l2分别交E于A，B两点和C，D两点．当l1的斜率为时，|AB|＝2. (1)求E的标准方程； (2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G在定直线上．　　 [规范解答]　(1)当直线l1的斜率为时，直线l1的方程为y＝(x＋1)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立可得x2＋2(1－4p)x＋1＝0. Δ＝4(1－4p)2－4＝4(16p2－8p)>0.因为p>0，可得p>. 由根与系