第一部分 第4板块 层级2 微专题（1）统计与统计案例（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(一)　统计与统计案例 命题点(一)　用样本估计总体　 [例1]　从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 (1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ [解]　(1)补全后的频率分布直方图如图所示. (2)质量指标值的样本平均数为＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定. 方法技巧 利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定. (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征. 针对训练 1.(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 解：(1)由题意，求出zi的值如表所示， 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12 则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)因为2＝2＝，＝11＝>， 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 命题点(二)　线性回归方程及其应用　 [例2]　(2023·绵阳模拟)近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品.某用户对自己发布的短视频个数x与收到的点赞数之和y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据： x 3 4 5 6 7 y 45 50 60 65 70 (1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度？(若0.3<|r|<0.75，则线性相关程度一般；若|r|>0.75，则线性相关程度较高.计算r时精确度为0.01) (2)求出y关于x的回归方程. 参考数据及公式：≈65.57.相关系数： r＝，＝，＝－. [解]　(1)∵＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，＝×(45＋50＋60＋65＋70)＝58， ∴(xi－)2＝10， (yi－)2＝430， (xi－)·(yi－)＝65. ∴r＝＝＝≈≈0.99>0.75. ∴发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度. (2)∵＝＝＝6.5， ∴＝58－6.5×5＝25.5. ∴y