第一部分 第3板块 立体几何 层级3～4 创新应用考法（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 ■关联点：立体几何＋数列 1.刻漏是中国古代用来计时的仪器，利用附有刻度的浮箭随着受水壶的水面上升来指示时间.为了使受水壶得到均匀水流，古代的科学家们发明了一种三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸(约3.3厘米)，下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成锐二面角依次为θ1，θ2，θ3，则(　 ) A.θ1＋θ3＝2θ2 　 B.sin θ1＋sin θ3＝2sin θ2 C.cos θ1＋cos θ3＝2cos θ2 　 D.tan θ1＋tan θ3＝2tan θ2 解析：选D　如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，F是棱AB的中点，连接OF，过棱A1B1的中点E作EG⊥OF，垂足为G，则∠GFE就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为θ，设漏壶上口宽为a，下底宽为b，高为h，在Rt△EFG中，GF＝，tan θ＝.因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列，下底宽也成等差数列，所以a－b为定值.又因为三个漏壶的高h成等差数列，所以2tan θ2＝tan θ1＋tan θ3. ■关联点：立体几何＋余弦定理＋三角形面积公式 2.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1＝3，E是BC的中点，F是棱CC1上的点，且CF＝CC1，过A1作平面α，使得平面α∥平面AEF，则平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面图形的面积为(　 ) A. B. C.3 D. 解析：选A　如图，取B1C1的中点M，在BB1上取一点H，使得B1H＝BB1，连接A1M，HM，A1H，则A1M∥AE，HM∥EF，A1M∩HM＝M，AE∩EF＝E，A1M，HM⊂平面A1HM，AE，EF⊂平面AEF，∴平面AEF∥平面A1HM，即过点A1平行于平面AEF的平面截四棱柱ABCD－A1B1C1D1的图形是三角形A1HM，其中B1H＝BB1＝1，A1H＝，A1M＝，MH＝.∴由余弦定理得cos∠MA1H＝＝.∴sin∠MA1H＝，S△A1MH＝A1M·A1Hsin∠MA1H＝，故选A. ■关联点：立体几何＋基本不等式 3.已知三棱锥P－ABC的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，PA⊥BC.若球M的表面积为48π，PA＝4，则三棱锥P－ABC的体积的最大值为(　 ) A. B. C. D.32 解析：选B　因为三棱锥P－ABC的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，所以PA⊥AC，PB⊥BC.又PA⊥BC，AC∩BC＝C，AC，BC⊂平面ABC，故PA⊥平面ABC.又PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，故BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，故BC⊥AB.球M的表面积为48π，设球的半径为R，则4πR2＝48π，解得R＝2，即PC＝4，所以AC＝＝4，BC2＋AB2＝AC2＝32，三棱锥P－ABC的体积为·PA·S△ABC＝·AB·BC，要使体积最大，即AB·BC最大.又AB·BC≤＝16，当且仅当AB＝BC＝4时取等号，故体积的最大值为×16＝. ■关联点：立体几何＋概率 4.如图，ABCDEF－A′B′C′D′E′F′为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是________. 解析：由题意知，若两条对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组；若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组； 若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接AD，C′D，E′D，AB′，AF′，先考虑下底面，根据正六边形性质可知EF∥AD∥BC，所以E′F′∥AD∥B′C′，且B′C′＝E′F′≠AD，故AD，C′B′共面，且AD，E′F′共面，故AF′，DE′相交，且C′D，AB′相交，故共有2组，即正六边形对角线AD所对应的有2组共面的面对角线.同理可知正六边形对角线BE，CF所对的分别有两组，共6组.故对于上底面对角线A′D′，B′E′，C′F′同样各有两组，共6组；若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组.所以共面的概率是＝. 答案： 二、命题“深度”上——强化纵向高次延伸 ■延伸链：等体积法求高→线面平行的判定→P的轨迹→线面垂直求距离 1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，P是正方形BB1C1C(含边界)内的动点，点P到平面A1BD的距离等于，则D，P两点间距离的最大值为(　 ) A.2 B.3 C.3 D.2 解析：选D　由题意可知，B1C＝A1B＝A1D＝BD＝4，B1D＝2， 设三棱锥B1－A1BD的高为h，因为VB1－A1BD＝VD－A1B1B，所以×h××4