第一部分 第3板块 层级2 微专题（3）立体几何中的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(三)　立体几何中的综合问题 命题点(一)　立体几何中的折叠问题　 对立体几何中的折叠问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答.从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼.分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.解题的关键是抓住翻折后的变与不变量. [例1]　已知平面四边形ABCM由等腰△MAC和Rt△ABC组成，AB⊥BC，MA＝MC，O为AC上的点且OA＝OC＝BC＝2(如图1所示)，将等腰△MAC沿AC折起，点M折至点D位置，使得平面DAC⊥平面ABC(如图2所示). (1)求证：DO⊥AB； (2)若点E在棱DC上，且满足DE＝2EC，平面EAB和平面ABC所成角的余弦值为，求四面体ABCD的体积. [关键点拨] 切入点 通过面面垂直的性质证明DO⊥平面ABC，进而证明DO⊥AB 迁移点 建立坐标系，写出两个平面的法向量，通过锐二面角的余弦值求出参数，进而计算四面体ABCD的体积 [解]　(1)证明：因为MA＝MC，OA＝OC， 所以在△ACD中，DO⊥AC. 又因为平面DAC⊥平面ABC，平面DAC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面DAC， 所以DO⊥平面ABC， 又因为AB⊂平面ABC， 所以DO⊥AB. (2)在平面ABC内过点O作AC的垂线，建立空间直角坐标系如图所示， 设OD＝a(a>0)，则A(0，－2,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，E，＝，＝. 设平面EAB的一个法向量n＝(x，y，z)， 则即 解得 不妨取y＝a，则n＝(－a，a，－10). 结合(1)知，DO⊥平面ABC， 取平面ABC的一个法向量＝(0,0，a)， 则＝＝，解得a＝10. 在△ABC中，因为AC2＝AB2＋BC2，所以AB＝＝2， 所以△ABC的面积为×2×2＝2， 所以四面体ABCD的体积为×2×10＝. 方法技巧 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决. 针对训练 1.如图甲是由直角梯形ABCD和等边三角形CDE组成的一个平面图形，其中BC∥AD，AB⊥BC，AD＝2BC＝2AB＝2，将△CDE沿CD折起使点E到达点P的位置(如图乙)，使二面角P－CD－B为直二面角. (1)证明：AC⊥PD； (2)若平面PCD与平面PAB的交线为l，求l与平面PAD所成角的正弦值. 解：(1)证明：取AD中点为F，连接CF，由AD＝2BC得AF∥BC且AF＝BC. ∴四边形ABCF为平行四边形， ∴CF＝AF＝DF，∴AC⊥CD， 又因为二面角P－CD－B为直二面角，且平面PCD∩平面ABCD＝CD， ∴AC⊥平面PCD，又因为PD⊂平面PCD， 所以AC⊥PD. (2)延长AB和DC交于点G，连接GP，则GP为平面PCD与平面PAB的交线l， 取CD中点为O，连接OF，OP，∵OP⊥AC，OF∥AC， ∴OP⊥OF，OF⊥CD，OP⊥CD， 以O为坐标原点，OF，OD，OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， P，A，G，D， ＝，＝(－，，0)，＝， 设平面PAD的法向量为m＝(a，b，c)， 令c＝1，解得m＝(，，1) 设l与平面PAD的所成角为θ，则sin θ＝＝＝， 即l与平面PAD所成角的正弦值为. 命题点(二)　立体几何中的探究性问题　 与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数有些是题中已给出，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断. [例2]　如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点. (1)求证：B，E，D1，F四点共面； (2)是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由. [关键点拨] 切入点 以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 迁移点 假设存在满足题意的点G，根据题意列方程求解 [解]　(1)证明：如图所示. 连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME， 因为E为AA1的中点，所以EM∥A1B1∥C1D1，且EM＝A1B1＝C1D1， 所以四边形EMC1D1为平行四边形， 所以D1E∥MC1， 又因为F为CC1的中