第一部分 第3板块 层级2 微专题（1）球的切、接问题与动态问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(一)　球的切、接问题与动态问题 命题点(一)　几何体的内切球　 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. (4)棱长为a的正方体内切球半径为. (5)棱长为a的正四面体内切球的半径r＝a，即高的. [例1]　已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为(　 ) A. B. C . D.4 [解析]　如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接PO，OE，PE，则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，因为BC＝2，PB＝，故PE＝＝2 ，则PO＝＝，设该四棱锥的内切球的半径为r，则·S四边形ABCD·PO＝(S四边形ABCD＋4S△PBC)r，即×4×＝4＋4××2×2×r，解得r＝，故内切球的体积为V＝π×3＝.故选B. [答案]　B [例2]　已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则a的最大值为________. [关键点拨] 切入点 求圆锥的内切球半径 迁移点 涉及与旋转体有关问题，想不到作出轴截面，借助平面几何知识求解 隐藏点 圆锥轴截面正三角形的内切圆是圆锥内切球的截面大圆 [解析]　正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，则当正方体棱长a最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球，底面半径为2，母线长为4的圆锥轴截面正△SAB的内切圆O是该圆锥内切球O的截面大圆，如图，正△SAB的高SO′＝SA＝2，则内切圆O的半径即球半径R＝SO′＝，则a＝2R＝，解得a＝，所以a的最大值为. [答案]　 方法技巧 处理球的“切”问题的求解策略 与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切于多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作. 针对训练 1.已知△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为(　 ) A.π B.π C.π D.π 解析：选B　旋转体的轴截面如图所示，其中O为内切球的球心，过O作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，则OE＝OF＝r(r为内切球的半径)，故AO＝＝r，CO＝＝r，故5＝AO＋OC＝r＋r，故r＝，故旋转体的内切球的表面积为4π×2＝π. 2.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝CD＝1，BC⊥CD，则鳖臑ABCD内切球的表面积为(　 ) A.3π　 B.(3－2)π　 C.12π　 D.(3＋2)π 解析：选B　因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以AB⊥BD，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥CD，设四面体ABCD内切球的球心为O，则VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD＝r内(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)，所以r内＝，因为四面体ABCD的表面积为SA－BCD＝S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD＝1＋，又因为四面体ABCD的体积VA－BCD＝，所以r内＝，所以S球＝4πr2＝(3－2)π. 命题点(二)　几何体的外接球　 空间几何体的外接球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心两大策略解决此类问题. [例3]　已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　 ) A. B. C. D.[18,27] [关键点拨] 切入点 由球的体积求球的半径，设正四棱锥的底面边长a及高h，利用两个直角三角形建立关于a，h的方程组，用l表示h，a 迁移点 看清球中的优美直角三角形，并适时应用勾股定理 障碍点 不会构造函数，利用导数求体积的范围 [解析]　如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底面边长为a，高为h，依题意，得36π＝πR3，解得R＝3.由题意及图可得 解得所以正四棱锥的体积V＝a2h＝×＝(3≤l≤3)，所以V′＝l3－＝l3(3≤l≤3)，令V′＝0，得l＝2，所以当3≤l＜2时，V′＞0；当2＜l≤3时，V′＜0，所以函数V＝(3≤l≤3)在[3,2)上单调递增，在(2，3]上单调递减，又当l＝3时，V＝；当l＝2时，V＝；当l＝3时，V＝；所以该正四棱锥的体积的取值范围是.故选C. [答案]　C [例4]　(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3