第一部分 第2板块 层级3 微专题（3）数列中的不等关系（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(三)　数列中的不等关系 命题点(一)　与数列有关的最值问题　 [例1]　已知等比数列{an}满足a1＋a2＝20，a2＋a3＝80. (1)求{an}的通项公式； (2)令bn＝log2an，其前n项和为Sn，求的最大值. [关键点拨] 切入点 (1)设等比数列{an}的公比为q，列方程组求通项公式. (2)由bn与an的关系求bn和Sn 迁移点 化简后，构造函数，利用函数的单调性求解 障碍点 不注意目标代数式中n的取值限制，直接利用基本不等式求解，造成n∉N*而致误 [解]　(1)设{an}的公比为q(q≠0)，由题意得两式相除得q＝4， 则a1＋4a1＝20，得a1＝4. 所以{an}的通项公式为an＝4n. (2)因为bn＝log2an＝log24n＝2n， 所以bn＋1－bn＝2，b1＝2， 所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，bn＝2n. Sn＝2n＋×2＝n2＋n， 所以＝＝. 令f(x)＝x＋(x>0)， 求导易得f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 而3<<4，且f(3)＝3＋＝，f(4)＝4＋＝. 显然f(4)>f(3)，∴n＋的最小值为， 即的最大值为. 方法技巧 解决与数列有关的最值问题应注意以下几点 (1)数列是定义在N*或其子集上的特殊函数，因此树立函数意识解决数列问题是关键. (2)求解过程中注意项数n的取值范围. 针对训练 1.已知数列{an}的前n项之积为bn，且＋＋…＋＝(n∈N*). (1)求数列和{an}的通项公式； (2)求f(n)＝bn＋bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n－1＋b2n的最大值. 解：(1)因为＋＋…＋＝　①， 所以＋＋…＋＝(n≥2)　②， ①－②得＝n(n≥2)，＝1也满足上式，所以＝n(n∈N*)　③， 所以＝n－1(n≥2)　④， 易知anbn≠0，③÷④得＝(n≥2)，又bn＝anbn－1，所以＝(n≥2)， 所以an－1＝(n≥2)，所以an＝. (2)由(1)可知an＝，则bn＝a1×a2×…×an＝××…×＝， 所以f(n)＝bn＋bn＋1＋…＋b2n＝＋＋…＋，则f(n＋1)＝＋＋…＋， 由f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－<0，得f(n＋1)<f(n)，所以f(n)单调递减，所以f(n)的最大值为f(1)＝b1＋b2＝＋＝. 命题点(二)　与数列有关的不等式恒成立问题　 [例2]　已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝a＋an－2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和.若－Tn≤对任意的n∈N*恒成立，求k的取值范围. [关键点拨] 切入点 (1)由Sn与an的关系，即可求得数列{an}的通项公式； (2)利用错位相减法可求得{bn}的前n项和，再结合不等式关系，求k的范围 障碍点 不会应用数列的单调性及n∈N*判断数列的最值 [解]　(1)2Sn＝a＋an－2.　① 当n＝1时，代入①得a1＝2； 当n≥2时，2Sn－1＝a＋an－1－2.　② ①－②得2an＝a－a＋an－an－1，整理得an＋an－1＝a－a＝(an－an－1)(an＋an－1)， 因为an>0，所以an－an－1＝1(n≥2)，所以数列{an}为等差数列，公差为1，所以an＝n＋1. (2)bn＝＝，Tn＝2×＋3×＋4×＋…＋(n＋1)，　③ Tn＝2×＋3×＋4×＋…＋n×＋(n＋1)，　④ ③－④得Tn＝2×＋＋＋…＋－(n＋1)， 所以Tn＝－，所以－Tn≤，化简得k≥， 令cn＝，cn＋1－cn＝.所以c1<c2>c3>c4>…， 所以cn的最大值为c2＝，所以k≥. 所以k的取值范围为. 方法技巧 解决与数列有关的恒成立问题，可以利用数列的单调性或者借助数列对应函数的单调性及基本不等式求解. 针对训练 2.已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，a1＝，当n≥2时，S＝anSn－an. (1)求Sn； (2)设数列的前n项和为Tn，若λTn≤(n2＋9)2n恒成立，求λ的取值范围. 解：(1)因为当n≥2时，S＝anSn－an，所以S＝(Sn－Sn－1)Sn－(Sn－Sn－1)，整理得SnSn－1＝Sn－1－Sn，即－＝1. 所以数列是以＝＝2为首项，1为公差的等差数列， 所以＝n＋1，即Sn＝. (2)由(1)知，＝(n＋1)2n， 所以Tn＝2×2＋3×22＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n　①， 2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n＋1　②， ①－②得－Tn＝4＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1＝－n×2n＋1， 所以Tn＝n×2n＋1，则λTn≤(n2＋9)2n，即λn×2n＋1≤(n2＋9)2n， 变形得λ