第一部分 第2板块 层级2 微专题（1）数列求和（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(一)　数列求和 命题点(一)　分组转化法求和　 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和.注意在含有字母的数列中对字母的讨论. [例1]　(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. [解]　(1)设{an}的公差为d，则 解得a1＝13，d＝－2.所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n. (2)由(1)得|an|＝ 当n≤7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2， 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2. 综上，Tn＝ 方法技巧 利用分组转化法求和的3个关键点 会列方程 会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量 会用公式 会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式 会分组求和 观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列 针对训练 1.等差数列{an}满足a5＝5，a1＋a7＝8，正项等比数列{bn}满足b2＝a2，b4是a1和a64的等比中项. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)， 由题意可得 解得a1＝d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n； 又bn>0且b2＝a2＝2，b4＝＝8，所以q＝＝2，所以bn＝b2qn－2＝2n－1. (2)因为cn＝an＋bn＝n＋2n－1， 所以Sn＝(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋2n－1)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)＝＋＝＋2n－1. 2.已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和. 解： (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.a1＝1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 命题点(二)　错位相减法求和　 若数列{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列，则求其积数列{an·bn}的前n项和，可以运用错位相减法. [例2]　(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1,2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. [解]　(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0. 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1， 两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1， 即(n－1)an－1＝(n－2)an， 当n＝2时，可得a1＝0， 故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·，整理得＝n－1，因为a2＝1， 所以an＝n－1(n≥3). 当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1. (2)令bn＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋①， Tn＝＋＋…＋＋②， 由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，即Tn＝2－. 方法技巧 运用错位相减法求和的关键 判断模型 判断数列{an}，{bn}是不是一个为等差数列，一个为等比数列 错开位置 为两式相减不会看错列做准备 相减 相减时一定要注意最后一项的符号 针对训练 3.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由Sn＋1＝2Sn＋1，得Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1， ∴an＋1＝2an(n≥2，n∈N*). 又a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1， ∴a2＋a1＝2a1＋1，整理得a2＝2a1. ∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)得an＝2n－1，∴bn＝＝＝. ∴T