第一部分 第1板块 三角函数与解三角形、平面向量 层级3～4 创新应用考法（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

名师寄语 为激发创新意识和培树创新型人才，新高考加大了对创新应用性题目的考查.研究创新应用性题目的命制，有利于学生打破固化的思维路径，站在更高更广处审视问题.创新应用性题目的命制，归纳起来，主要表现在以下三个方面： 1.命题“宽度”上——注重横向多元拓展.研究这类题目，有助于融通知识联系，实现知识的融会贯通、迁移应用. 2.命题“深度”上——强化纵向高次延伸.研究这类题目，有助于深度理解知识，高度提升素养，发掘学习潜力，延展主题思维. 3.命题“开放度”上——探究多渠道解决问题.对于这类题目，学生在平时的训练中，尽可能地尝试多角度、多途径、最优化地解决问题，以拓展视野、融通知能、激活思维，规避机械单一、思维僵化地处理问题. 一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 ■关联点：解三角形＋三角函数＋数列 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.所以cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取等号.由于在△ABC中，B∈(0，π)，且y＝cos B在(0，π)上为减函数，所以角B的取值范围是. ■关联点：三角函数＋数列＋集合 2.(2023·全国乙卷)已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{cos an|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝(　 ) A.－1 B.－ C.0 D. 解析：选B　依题意等差数列{an}中，an＝n＋，显然函数y＝cos的周期为3，要使集合S中只有两个元素可利用对称性取值，取a1＝－，则cos a1＝，cos a2＝cos＝，cos a3＝cos＝－1，所以S＝，ab＝－，故选B. ■关联点：三角函数＋三角恒等变换＋平面向量 3.已知向量m＝(2cos2x，)，n＝(1，sin 2x)，设函数f(x)＝m·n，则下列关于函数y＝f(x)的性质的描述正确的是(　 ) A.关于直线x＝对称 B.关于点对称 C.周期为2π D.在上是增函数 解析：选D　因为向量m＝(2cos2x，)，n＝(1，sin 2x)，所以f(x)＝m·n＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1.把x＝代入f(x)得f＝＋1，没有取得最值，所以A不成立.把x＝代入f(x)得f＝1，所以B不成立.由于周期T＝＝π，所以C不成立.因为x∈，2x＋∈，又⊆，所以f(x)在上是增函数，所以D成立. ■关联点：平面向量＋椭圆的性质＋圆的性质 4.已知向量b，c和单位向量a满足|a－b|＝2|b|，|c－a|＋|c＋a|＝4，则b·c的最大值为(　 ) A. B. C.2 D. 解析：选C　设a＝(1,0)，b＝(x，y)，由|a－b|＝2|b|可得(x－1)2＋y2＝4(x2＋y2)，化简可得3x2＋3y2＋2x－1＝0，即2＋y2＝.设c＝(x0，y0)，则由|c－a|＋|c＋a|＝4，可得＋＝4，故点(x0，y0)的轨迹为以(－1,0)，(1,0)为焦点，2a＝4的椭圆，其方程为＋＝1.设b，c的夹角为θ，则b·c＝|b||c|cos θ.由圆与椭圆的性质可得，|b|≤＋＝1，|c|≤2，cos θ≤1，三者可同时取等号.故当b，c同向且方向与x轴正方向相反时，b·c取得最大值2.故选C. ■关联点：三角函数＋导数 5.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sinx－sin x，则(　 ) A.f(x)在区间(0,2π)内有一个零点 B.f(x)在[0，π]上单调递减 C.f(x)在区间(0,2π)内有最大值 D.f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝x 解析：选C　因为x∈(0,2π)，所以∈(0，π)，可得sinx∈(0,1]，cosx∈(－1,1)，则f(x)＝sinx－sin x＝sinx·>0.所以f(x)在区间(0,2π)内无零点，故A错误.因为f(0)＝0，f(π)＝1，不满足f(0)>f(π)，所以f(x)在[0，π]上不单调递减，故B错误.因为f′(x)＝cosx－cos x＝，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝时，f(x)取得最大值，f(x)max＝，故C正确.由选项C可得，f′(0)＝0，且f(0)＝0，因此f(x)图象在原点处的切线方程为y＝0，故D错误. 二、命题“深度”上——强化纵向高次延伸 ■延伸链：正弦定理―→三角形面积公式―→边角关系―→余弦定理 1.如图，在△ABC所在平面内，