第一部分 第1板块 层级2 微专题（3）解三角形综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(三)　解三角形综合问题 命题点(一)　利用正弦、余弦定理解三角形　 (1)解三角形在高考中的考查主要是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形. (2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口. [例1]　(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积. [解]　(1)由余弦定理知cos A＝， 代入＝2，得2bc＝2， 故bc＝1. (2)由正弦定理及－＝1， 得－＝1， 化简得－＝1. ∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C， ∴sin(A－B)－sin B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B－sin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴－2cos Asin B＝sin B. ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－. ∵A∈(0，π)，∴sin A＝＝. 由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×＝. 　　方法技巧 利用正、余弦定理解三角形的关键点 (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理. (2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形. (3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝absin C形式的面积公式. 　　针对训练 1.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). (1)若A＝2B，求C； (2)证明：2a2＝b2＋c2. 解：(1)由A＝2B，A＋B＋C＝π可得A＝. 将A＝2B代入sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A)， 因为B∈(0，π)，sin B≠0，所以sin C＝sin(C－A)， 又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π， 与A＝联立，解得C＝. (2)证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得， sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 由正弦定理可得，accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，即accos B＋abcos C＝2bccos A(*). 由余弦定理，得accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2， 代入(*)式并整理得，2a2＝b2＋c2. 法二：因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A，又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. 2.在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知锐角△ABC同时满足下列四个条件中的三个： ①A＝；②sin C＝；③a＝；④c＝4. (1)请指出这三个条件，并说明理由； (2)求△ABC的面积. 解：(1)△ABC同时满足①，③，④. 因为：若△ABC同时满足①，②， 则在锐角△ABC中， 因为sin C＝<，所以0<C<， 又因为A＝，所以0<A＋C<， 所以B>，与△ABC是锐角三角形矛盾， 所以△ABC不能同时满足①，②. 由已知得△ABC一定同时满足③，④ . 因为c>a，所以C>A，若△ABC满足②， 则A<C< ，所以0<A＋C<， 则B>，与△ABC是锐角三角形矛盾， 所以△ABC不满足②. 所以△ABC满足①，③，④. (2)因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以 10＝b2＋16－2×b×4×，解得b＝3或b＝. 当b＝时，cos C＝＝<0，所以C为钝角，与已知矛盾，所以b＝3， 所以△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝6. 命题点(二)　平面几何中解三角形问题　 [例2]　如图，四边形ABCD的内角B＋D＝π，AB＝6，DA＝2，BC＝CD，且AC＝2. (1)求B； (2