第1章 4 角平分线（题型突破课件）-【思而优·全程突破】2024年春八年级数学下册同步训练（北师大版）

第10课时　角平分线(2) 第一章　三角形的证明 【题型1】角平分线与线段的垂直平分线的综合 1．【例】已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D. 求证：(1)OC＝OD； 首页 证明：P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD. 在Rt△OPC和Rt△OPD中， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)， ∴OC＝OD； (2)OP是CD的垂直平分线. 首页 解：∵OC＝OD，OP是∠AOB的平分线， ∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)． 2．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DN⊥AC，DM⊥AB. 求证：BM＝CN. 首页 证明：如图，连接DB，DC. ∵OD是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD. ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB， DN⊥AC， ∴DM＝DN，∠DMB＝∠N＝90°. 在Rt△DMB和Rt△DNC中， ∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)， ∴BM＝CN. 首页 【题型2】角平分线在实际生活中的应用 3．【例】尺规作图题： 校园内有两条路OA，OB，在交叉口附近有两块宣传牌C，D，学校准备在两条路相交的内部(∠AOB内)安装一盏路灯，要求灯柱的位置P到两块宣传牌的距离相等，并且到两条路的距离也相等，请你帮忙作出灯柱的位置点P(不写作法，保留作图痕迹). 首页 解：如图，点P即为所求． 4．(培优)如图，某地有两所大学和两相交叉的公路(点M，N表示大学，AO，BO表示公路)，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，并且到两条公路的距离也相等. (1)你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图中画出你的设计方案； 首页 解：仓库在线段MN的垂直平分线和∠AOB的平分线的交点上，或在MN的垂直平分线和∠AOB邻补角的平分线的交点上，如图，点P和点P′即为所求作； (2)阐述你设计的理论依据. 首页 解：根据角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 本PPT课件由思而优研发制作，仅限思而优配套教学使用。 未经授权，任何人不得以商业目的进行拷贝、转发、转售， 一经发现，我司将追究侵权者的法律责任。 温馨提示 $$第9课时　角平分线(1) 第一章　三角形的证明 【题型1】角平分线性质定理的应用 1．【例】如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，点F为射线AB上一点．若PE＝5，则PF长的最小值是(　　) A．3　　　　　　 B．4 C．5　　 D．6 2．如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC的平分线上一点，PM∥AC交AB于点M，PD⊥AC于点D，若PM＝8，则PD＝___. 首页 C 4 3．【例】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC. 求证：BE＝CF. 首页 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 在Rt△EBD和Rt△FCD中， ∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL)， ∴BE＝CF. 4．(培优)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，ED⊥AB于点E，∠ADF＝90°. (1)若∠BDF＝20°，求∠DAC的度数； 首页 解：∵∠ADF＝90°，∠BDF＝20°， ∴∠ADC＝180°－90°－20°＝70°. ∵∠C＝90°， ∴∠DAC＝90°－70°＝20°； (2)若DF平分∠BDE，求证：DE＝DC. 首页 证明：∵DF平分∠BDE， ∴∠EDF＝∠BDF. ∵∠ADF＝90°，∠AED＝90°，∠C＝90°， ∴∠ADE＋∠EDF＝90°，∠ADE＋∠EAD＝90°， ∠BDF＋∠ADC＝90°，∠DAC＋∠ADC＝90°， ∴∠EDF＝∠EAD，∠BDF＝∠DAC， ∴∠EAD＝∠DAC， 又∵ED⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC. 【题型2】角平分线判定定理的应用 5．【例】如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB＝OC. 首页 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC， ∴OD＝OE，∠BDO＝∠CEO＝90°. ∵∠BOD＝∠COE， ∴△BOD≌△COE(ASA)． ∴OB＝OC. 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长. 首页 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF， ∴AD平分∠BAC. 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°. 在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10， 本PPT课件由思而优研发制作，仅限思而优配套教学使用。 未经授权，任何人不