第08讲 7.5正态分布-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第08讲 7.5 正态分布 课程标准 学习目标 ①通过误差模型初步了解服从正态分布 的随机变量的特点。 ②并能通过具体的实例，借助频率直方图的几何直观性，了解正态分布的特征，了解正态密度函数的性质。 ③了解正态分布的均值、方差及含义。 ④了解 原则，能通过具体的实例求会求指定区间的概率，以及解决简单的正态分布问题.。 通过本节课的学习，要求在了解正态分布的含义基础上，能解决与正态分布相关的问题，根据正态密度曲线的对称性，增减性，求特定区间的概率，相应的参数及解决简单的正态分布的应用问题。 知识点1：正态曲线 （1）连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. （2）正态的曲线的定义 函数，其中,为参数. 显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. ①函数的自变量为,定义域为 ②解析式中含有两个常数和,这两个是无理数，其中为圆周率，为自然对数的底数 ③解析式中含两个参数和,其中可取任意实数，,不同的正态曲线和的取值是不同的. ④解析式的前面是一个系数，后面是一个以为底的指数函数的形式,指数为,其中这个参数在解析式中的两个位置出现，注意保持一致. （3）正态曲线的几何意义 由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积，就是落在区间的概率的近似值. （4）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在时达到峰值； ④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近. ⑤曲线与轴之间的面积为1； ⑥决定曲线的位置和对称性； 当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。 ⑦确定曲线的形状； 当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 知识点2：正态分布 （1）正态分布 若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为. 【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）设随机变量，若，则等于（    ） A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】A 【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为，与关于对称， 所以． 所以． 故选：A． （2）标准正态分布 若随机变量,则当,时，称随机变量服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数解析式为,,其相应的密度曲线称为标准正态曲线. 【即学即练2】（2024上·江西上饶·高二江西省广丰中学校考期末）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）    A．Y的数据较X更集中 B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大 C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D． 【答案】D 【详解】观察图象知，， 对于A，的密度曲线瘦高、的密度曲线矮胖，即随机变量的标准差小于的标准差，即， 因此Y的数据较X更集中，A正确； 对于B，显然，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，B正确； 对于C，显然，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，C正确； 对于D，显然，因此，D错误. 故选：D 知识点3：正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值. 特别地，， ， . 上述结果可用右图表示. 此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 【即学即练3】（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（    ）参考数据：，，． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，， 所以． 故选：A 题型01正态密度函数 【典例1】（2024·全国·高三专题练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为