15第五章 生活中的轴对称 培优突破练习课件 2023-2024学年北师大版数学七年级下册

第五章 生活中的轴对称 培优突破练习 1 一．角平分线的性质 二．线段垂直平分线的性质 三．等腰三角形的性质 四．等边三角形的性质 五．轴对称的性质 六．作图−轴对称变换 七．轴对称 八．翻折变换 2 一．角平分线的性质 3 1.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥DC，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为( ____ ) A.3 B.4 C.6 D.8 【解析】解：∵BD⊥CD， ∴∠BDC=90°， ∴∠C+∠CBD=90°， B 4 ∵∠A=90° ∴∠ABD+∠ADB=90°， ∵∠ADB=∠C， ∴∠ABD=∠CBD， 当DP⊥BC时，DP的长度最小， ∵AD⊥AB， ∴DP=AD， ∵AD=4， ∴DP的最小值是4． 故选：B． 5 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF=45°，连接EF，当AC=6，BC=8，AB=10时，则△CEF的周长为 ____ ． 【解析】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ=FN，连接PJ． 4 6 _____ ∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB， ∴PM=PK，PK=PN， ∴PM=PN， ∵∠C=∠PMC=∠PNC=90°， ∴四边形PMCN是矩形， ∴四边形PMCN是正方形， ∴CM=PM， 7 ∴∠MPN=90°， 在△PMJ和△PNF中， ， ∴△PMJ≌△PNF(SAS)， ∴∠MPJ=∠FPN，PJ=PF， ∴∠JPF=∠MPN=90°， ∵∠EPF=45°， ∴∠EPF=∠EPJ=45°， 在△PEF和△PEJ中， 8 ， ∴△PEF≌△PEJ(SAS)， ∴EF=EJ， ∴EF=EM+FN， ∴△CEF的周长=CE+EF+CF=CE+EM+CF+FN=2CM=2PM， ∵S△ABC= •BC•AC= (AC+BC+AB)•PM， ∴PM=2， ∴△ECF的周长为4， 9 故答案为：4． 10 3.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论． 【解析】解：相等． 证明如下：连EB、EC， ∵AE是∠BAC的平分线， 且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G， ∴EF=EG． ∵ED⊥BC于D，D是BC的中点， 11 ∴EB=EC． ∴Rt△EFB≌Rt△EGC， ∴BF=CG． 12 4.如图，已知OC平分∠AOB，点D，E分别在射线OA，OB上，连接DE，DE的垂直平分线FP交OC于F，交DE于P，过点F作FG⊥OA，FH⊥OB，垂足分别为G，H． 求证：DG=HE． 【解析】证明：连接FD，FE， ∵OC平分∠AOB，FG⊥OA，FH⊥OB， ∴FG=FH， ∵PF垂直平分DE， ∴FD=FE， 在Rt△FDG和Rt△FEH中， 13 ， ∴Rt△FDG≌Rt△FEH(HL)， ∴DG=EH． 14 5.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，与CD交于点D．若AD=8，求点P到BC的距离． 【解析】解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， 15 ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 即点P到BC的距离是4． 16 二．线段垂直平分线的性质 17 6.在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6． (1)AD与BD的数量关系为 ________ ． (2)求BC的长． (3)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长． 【解析】解：(1)∵l1是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD， 故答案为：AD=BD； AD=BD 18 (2)∵l2是线段AC的垂直平分线， ∴EA=EC， ∵△ADE的周长为6， ∴AD+DE+AE=6， ∴BD+DE+EC=6，即BC=6； (3)∵l1是线段AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ∵l2是线段AC的垂直平分线， OA=OC， ∴OB=OC， ∵△OBC的周长为16，BC=6， 19 ∴OB+OC=10， ∴OA=OB=OC=5． 20 7.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD． 【解析】证明：在△AOB与△COD中， ， ∴△AO