第五章 生活中的轴对称 中档题拓展训练课件2023-2024学年北师大版数学七年级下册

第五章 生活中的轴对称 中档题拓展训练 1 一．角平分线的性质 二．线段垂直平分线的性质 三．等腰三角形的性质 四．等边三角形的性质 五．轴对称的性质 六．作图−轴对称变换 七．轴对称 八．翻折变换 2 一．角平分线的性质 3 1.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥DC，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为( ____ ) A.3 B.4 C.6 D.8 【解析】解：∵BD⊥CD， ∴∠BDC=90°， ∴∠C+∠CBD=90°， B 4 ∵∠A=90° ∴∠ABD+∠ADB=90°， ∵∠ADB=∠C， ∴∠ABD=∠CBD， 当DP⊥BC时，DP的长度最小， ∵AD⊥AB， ∴DP=AD， ∵AD=4， ∴DP的最小值是4． 故选：B． 5 2.如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：在三角形内部三条角平分线相交于同一点，三外角平分线有三交点，除去深水湖泊那里的交点，共有三个， 故选：C． C 6 3.如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． (1)求证：OP平分∠AOB； (2)若MN=8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． ________ 7 【解析】(1)证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E， ____ ∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN， ∴PC=PD， ∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB， ∴PD=PE， ∴PC=PE， 8 ∴OP平分∠AOB； (2)∵△PMN的面积是16，MN=8， ∴ MN•PD=16， ∴ ×8•PD=16， ∴PD=4， ∴PD=PC=PE=4， ∵△OMN的面积是24， ∴四边形MONP的面积=△PMN的面积+△OMN的面积=16+24=40， ∴△POM的面积+△PON的面积=40， 9 ∴ OM•PC+ ON•PE=40， ∴ OM•4+ ON•4=40， ∴OM+ON=20， ∴线段OM与ON的长度之和为20． 10 4.图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，FD=FE． _______ (1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ=6，AC=9， 11 △ABC的面积是60，求AB的长． 【解析】解：(1)AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF(SSS)． ∴∠DAF=∠EAF， ∴AP平分∠BAC． (2)如图，过点P作PG⊥AC于点G． 12 ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PG=PQ=6． ∵S△ABC=S△ABP+S△APC= AB•PQ+ AC•PG， ∴ AB×6+ ×9×6=60． ∴AB=11． 13 5.如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD． (1)求证：AD平分∠GAC； (2)若AB=AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论． 【解析】(1)证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M． ∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC， ∴DM=DN=DK， 14 ∴AD平分∠GAC，∠ABD=∠DBC， ∴∠GAD=∠DAC， ∴AD平分∠GAC． (2)解：△ABC是等腰三角形， 证明：∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠CBD， ∴AD∥BC， ∴∠GAD=∠ABC，∠DAC=∠ACB， 15 ∵AD平分∠GAC， ∴∠GAD=∠CAD， ∴∠ABC=∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形． 16 6.如图，△ABC中，∠ACD=90°，AB=10，AC=6，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E． (1)线段AD与CE是否垂直？说明理由． (2)求△BDE的周长； (3)求四边形AEDC的面积． 【解析】解：(1)在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD， 17 ∴AE=AC=6，DE=DC， ∴AD是CE的垂直平分线， ∴线段AD与CE垂直； (2)∵∠ACD=90°，AB=10，AC=6， ∴BC= =8， BE=AB-AE=4， △B