1.5 第2课时 平方差公式的几何意义与运用 学习任务单 2023-2024学年北师大版七年级数学下册

1.5 第2课时 平方差公式的几何意义与运用 素养目标 1.会用图形的面积割补解释平方差公式,理解其几何意义. 2.会用平方差公式简化数的综合运算. 3.进一步学习运用平方差公式简化算式的综合运算. ◎重点:运用平方差公式简化运算. 预习导学 知识点一 平方差公式的几何背景   阅读教材本课时“想一想”之前的内容,回答下列问题. 思考:(1)如何表示课本“图1-5”中的阴影面积? (2)课本“图1-6”中的阴影部分是个长方形,长方形的长是　 　,宽是　 　,面积为　 　.  (3)由于“图1-6”是由“图1-5”裁剪、拼接而成的,阴影部分面积　 　,我们可以得到　 　=　 　.  归纳总结　我们可以用几何图形验证平方差公式,体现了　 　的数学思想.  【答案】(1)大正方形减去小正方形得a2-b2. (2)a+b　a-b　(a+b)(a-b) (3)相同　a2-b2　(a+b)(a-b) 归纳总结　数形结合 知识点二 用平方差公式简化运算   阅读教材本课时“想一想”至“例4”的内容,回答下列问题. 1.讨论:(1)课本“想一想(1)”中的三个算式,7×9=(8-　 　)×(8+　 　),11×13=(12-　 　)×(12+　 　),79×81=(80-　 　)×(80+　 　).  (2)运用平方差公式,可知7×9=82-1　 　82;11×13=122-1　 　122;79×81=802-1　 　802.(填“小于”“大于”或“等于”)  总结:(a+1)(a-1)　 　a2.(填“小于”“大于”或“等于”)  2.思考:(1)课本“例3”中,为什么将数103、97、118、122转化为两数之和或差的形式? (2)说一说“例4”中哪些步骤使用了平方差公式,简化了运算. 归纳总结　有关整式的混合运算(如乘、加、减),一般先算　 　,再算　 　,同时注意观察算式的特点,合理地使用　 　可使运算简便.  【答案】1.(1)1　1　1　1　1　1 (2)小于　小于　小于 小于 2.(1)运用平方差公式简化运算. (2)略. 归纳总结　乘　加减　乘法公式 对点自测 1.下列各式中,计算正确的是 ( )　　　 　　　　 　　　　 A.(x-3)(3+x)=x2-3 B.(x+1)(3x-1)=3x2-1 C.(-xy-z)(-xy+z)=x2y2-z2 D.(-m-n)(m+n)=m2-n2 2.计算:(1)(3a+2)(3a-2); (2)(x+y)(x-y)-(3x+2y)(3x-2y). 【答案】1.C 2.解:(1)原式=(3a)2-22=9a2-4; (2)原式=(x2-y2)-[(3x)2-(2y)2]=x2-y2-(9x2-4y2)=x2-y2-9x2+4y2=-8x2+3y2. 合作探究 任务驱动一 若x2-y2=12,且x+y=-3,则x-y的值是 ( )　　　　 　　　　 　　　　 A.4 B.3 C.-4 D.以上都不对 方法归纳交流　注意平方差的逆运用:a2-b2=　 　.  【答案】C 方法归纳交流　(a+b)(a-b) 任务驱动二 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b),再沿虚线剪开,如图1,然后拼成一个梯形,如图2,那么分别计算两个图中阴影部分的面积,可以验证成立的公式是　 　.  　　变式训练　从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图1),然后拼成一个平行四边形,这可以验证什么公式? 【答案】(a+b)(a-b)=a2-b2 变式训练　 可以验证平方差公式:(1)中的四个梯形的面积为a2-b2,这四个梯形组成了如图(2)中的平行四边形,一条边长为a+b,其高为a-b(由图(1)得),故平行四边形的面积为(a+b)(a-b),由此可验证(a+b)(a-b)=a2-b2. 任务驱动三 利用平方差公式进行计算:2012×1988. 【答案】解:2012×1988=(2000+12)×(2000-12)=20002-122=4 000 000-144=399 985 6. 任务驱动四 先观察下面的解题过程,然后解答问题. 题目:化简(2+1)(22+1)(24+1). 解:(2+1)(22+1)(24+1)=(2-1)(2+1)(22+1)·(24+1)=(22-1)(22+1)(24+1)=(24-1)·(24+1)=28-1. 问题:化简(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(364+1). 【答案】解:原式=(3-1)(3+1)(32+1)(34