1.1 等腰三角形（1）教案2023-2024学年北师大版数学八年级下册

1.1 等腰三角形（1）教案 教学 目标 1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式. 2．能够用综合法证明等腰三角形的性质“等边对等角”及“三线合一性质”. 重点 探索证明等腰三角形的性质定理的思路与方法,掌握证明的基本要求和方法. 难点 通过探索利用全等三角形的判定与定义证明等腰三角形的性质定理明确推理证明的基本要求. 教学环节 教师活动 学生活动 复习新知 1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 . 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）. 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）. 8.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 同学们想一想：在探索三角形全等的条件时，我们已经探索过“两角分别对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这一结论，你能用已有的基本事实和定理证明这一结论吗？ 画图试试！ 注意对于一个命题的证明，需要哪三部曲哦？ 学生根据老师的提问回答问题. 新知讲解 下面，让我们一起完成下面的问题： 思考：你能证明“两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”这个命题吗？ 已知：如图所示,在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明: ∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知） ∴∠B=∠B′（三角形内角和定理） 在△ABC与△A′B′C′中 ∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）. 归纳：全等三角形判定定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）. 符号语言： 在△ABC与△A′B′C′中 ∴ △ABC≌△A′B′C′（AAS）. 指出：根据全等三角形的定义，我们可以得到 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等. 符号语言： ∵△ABC≌△A′B′C′ ∴ ∠A=∠A′,∠B=∠B′ ,∠C=∠C′ AB=A′B′, AC=A′C′, BC=B′C′. 议一议：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 答案： 定理：等腰三角形的两个底角相等. 推论：等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一). 引问：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 介绍： 我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等. 实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等. 想一想：如何证明“等腰三角形的两个底角相等. ”这个定理呢？ 已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C · 证明：如图所示，取BC的中点D，连接AD. ∵AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 追问：你还有其他证明的方法吗? 归纳：定理：等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角. 几何语言： ∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对角） 例1：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B 的度数. 解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°， ∴∠B＝65°. 想一想：在前面的证明中，线段AD还具有怎样的性质呢？ · 答案：线段AD即是这个等腰三角形底边上的中线，也是顶角的平分线，同时也是底边上的高. 即：三线合一 追问：你能证明它们吗？ 已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，线段AD是△ABC的中线. 求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD. 证明： ∵ AD是△ABC的中线, ∴BD=CD， ∵AB=AC，AD=AD， △ABD≌△ACD(SSS), ∴ ∠BAD=∠CAD ,∠ADB=∠ADC (全等三角形的对应角相等), ∵∠ADB+∠ADC =180 °, ∴∠ADB=90 °,即AD⊥BC. 归纳：推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一). 符号语言: ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD. ∴BD＝CD. AD⊥BC. 或 ∵AB=AC，BD＝CD. ∴∠BAD=∠CAD. AD⊥BC. 或 ∵AB=AC，AD⊥BC. ∴BD＝CD.∠BAD=∠CAD. 例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F. 求证：EF＝ED. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED