2024年福建省数学中考专题复习：圆的综合题

2024年福建数学中考专题复习：圆的综合题 1．四边形ABCD是菱形，点O为对角线交点，AD边的垂直平分线交线段OD于点P（P不与O重合），连接PC，以点P为圆心，PC长为半径的圆交直线BC于点E，直线AE与直线CD交于点F，如图所示． （1）当∠ABC＝60°时，求证：直线AB与⊙P相切； （2）当AO＝2，AF2+EF2＝16时，求∠ABC的度数； （3）在菱形ABCD的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究∠AFC与∠CAF的数量关系． 2．在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D． （1）如图1，点E在线段CD上，AD＝AE，求证：△ACE∽△BCD； （2）如图2，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，射线CD交⊙O于点F．若，求的值； （3）如图3，若点A、C、D在⊙O上，CB交⊙O于点G．若AB＝kAC，∠ACB＝60°，求的值．（结果用含k的式子表示） 3．如图1，已知，点A是以BC为直径半圆O弧上的三等分点，连结AB、AC． （1）填空：tan∠ABC＝　 　； （2）如图2，点D在BC上，连结AD，过点A作AE⊥AD，若∠ADE＝30°， ①求证：CE与半圆O相切； ②若，求的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，经过A，C两点的⊙O与边AB交于点D，与边BC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC交于点F，且DF∥AC，连接DO并延长与AC交于点H． （1）求证：； （2）连接CD，AE，若AE平分∠CAB，求证：△ACD是等边三角形； （3）在（2）的条件下，若DF＝3，求EF的长． 5．如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α． （1）用含α的代数式表示∠BFD； （2）求证：△BDE≌△FDG； （3）如图2，AD为⊙O的直径． ①当的长为2时，求的长； ②当OF：OE＝4：11时，求的值． 6．如图1，点D是△ABC的边AB上一点，AD＝AC，∠CAB＝α，⊙O是△BCD的外接圆，点E在上（不与点C，点D重合），且∠CED＝90°﹣α． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）如图2，若CE是⊙O的直径，且CE＝2，折线ADF是由折线ACE绕点A顺时针旋转α得到． ①当α＝30°时，求△CDE的面积； ②求证：点C，D，F三点共线． 7．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，AB＝AC． （1）求证：DE⊥AC； （2）延长CA交⊙O于点F，点G在上，． ①连接BG，求证：AF＝BG； ②经过BG的中点M和点D的直线交CF于点N，连接DF交AB于点H，若AH：BH＝3：8，AN＝7，试求出DE的长． 8．已知，四边形ABCD内接于⊙O，，点T在BC的延长线上． （1）如图1，求证：CD平分∠ACT； （2）如图2，若AC是⊙O的直径，BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF． ①求∠AED的度数； ②若，△DEF的面积等于，求AC的长． 9．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，连接BD． （1）如图，线段CB绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段CE，当∠DCE＝∠DBC，求证：直线CE与⊙O相切； （2）如图，点F为⊙O上一点，DF⊥BC于G点，⊙O的半径为3cm， ①求； ②若∠BDC＝60°，过点B作BM⊥CD，垂足为M，BM交FD于点N，连接ON，补全图形，探究∠NOC 和∠BDF 之间的数量关系，并说明理由． 10．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，点D是上一动点（不与点A、C重合），且∠ADB＝∠BAC＝45°． （1）求证：AC是⊙O的直径； （2）当点D在运动到使AD+CD＝5时，则线段BD的长为　 　；（直接写出结果） （3）如图2，把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC，连接AE，当点D在运动时，探究线段AE、BD、CD之间的数量关系，并说明理由． 11．已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB＝AC． （1）如图1，若∠CDB＝50°，求∠ADB的度数； （2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，当∠DBC＝45°时，求证：CE＝CG； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，若，求CB的长． 12．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，P是BC上一点（不与点B，C重合），过点P作PD⊥AB于点D，连结CD并延长交△ABC的外接圆于点E，连结EA，EB，AP． （1）求证：∠DPB＝∠CEB． （2）若CD2＝CP•CB