专题10 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型-2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题10 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型） 模型1、平分平行（射影）构等腰 1）角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 例1．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD // AB交BC于点D， OE // AC交BC于点E．若AB=5 cm，BC=10 cm，AC=9 cm，则△ODE的周长为(    ) A．10 cm B．9 cm C．8 cm D．5 cm 例3．（2023·重庆·八年级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC= ．    例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________． 例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系. (2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由. 模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型 1）内角平分线定理 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。 结论： 2）外角平分线定理 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 3）奔驰模型 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 例1．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则 ． 例2．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，的三边，，长分别是3，4，5，其三条角平分线将分为三个三角形，则为（    ）    A． B． C． D． 例3．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务： 已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程． (1)证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程 例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：．