专题十 主题二“两线两角”破解带电粒子在磁场中的运动（Word教参）-【新高考方案】2024年高考物理二轮复习专题增分方略（新教材）

主题二　“两线两角”破解带电粒子在磁场中的运动 利用“两线两角”可破解带电粒子在磁场中的运动问题，“两线”是指速度的垂线、弦的中垂线，可确定圆心的位置；“两角”是指圆心角、弦切角，可以结合几何知识计算圆周运动的半径并计算运动时间。 [典例]　两金属板MN平行放置，金属板右侧的矩形区域abcd内存在垂直纸面向里的匀强磁场，P、Q分别为ad边和bc边的中点，ab＝3L，ad＝2L，金属板与矩形区域的轴线PQ垂直，如图所示。质量为m、电荷量为q的粒子在M板附近自由释放，经两板间电压加速后，穿过N板上的小孔，以速度v沿轴线PQ进入磁场区域，并由b点离开磁场。不计粒子重力，求： (1)加速电压U的大小； (2)矩形磁场中磁感应强度的大小； (3)若在矩形磁场右侧，分布着另一个一条边平行于ab边的矩形磁场区域efgh(未画出)，粒子经过efgh 偏转后恰好回到出发位置，求矩形磁场efgh的最小面积及对应的磁感应强度大小。(cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6) [解析]　(1)在电场中加速qU＝mv2 可得U＝。 (2)磁场中，由勾股定理 R2＝(3L)2＋(R－L)2 可得R＝5L， 由洛伦兹力提供向心力，qvB＝ 可得B＝。 (3)粒子可能的轨迹如图所示， 则有粒子离开abcd后，立即进入磁场efgh时，满足题目要求。设粒子在磁场efgh中运动轨迹的半径为r，sin θ＝，可得θ＝37° 在磁场efgh中，L＝rcos θ，r＝ 磁场efgh面积S＝2r(r＋rsin θ) 可得：B′＝，S＝5L2。 [答案]　(1)　(2)　(3)5L2　 [进阶训练] 在[典例]第(3)问中，试计算带电粒子从P点出发经偏转后回到P点所用的时间。 解析：在磁场abcd中，带电粒子的运动周期为T1＝＝， 则运动时间为t1＝T1＝ 在磁场efgh中，带电粒子的运动周期为T2＝＝ 圆心角为α＝360°－2(90°－θ)＝254° 则运动时间为t2＝T2＝ 故在磁场中运动的总时间为t＝t1＋t2＝。 答案：　 　 [考法全训] 1．[“两线”的应用]如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。 解析：(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有qU＝mv2 ① 设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有qvB＝m② 由几何关系知d＝r ③ 联立①②③式得＝。 ④ (2)由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s＝＋rtan 30°⑤ 带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为 t＝ ⑥ 联立②④⑤⑥式得t＝。 ⑦ 答案：(1)　(2) 2．[“两角”的应用]质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图所示(粒子重力忽略不计)。求圆形磁场区域的最小面积。 解析：带电粒子的运动轨迹如图所示。 设轨迹半径为r，圆形磁场的最小半径为R， 则由几何关系得：r＝OO1，R＝OO1cos 30°， 对带电粒子有qv0B＝m， 解得r＝，R＝ 则圆形磁场的最小面积为：S＝πR2＝。 答案： 3．[“两线两角”的综合应用]如图所示，在x轴上方有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在x轴下方也有垂直纸面的匀强磁场(图中未画出)。一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子，在纸面内以大小为v的速度从O点与x轴负方向成60°角射入x轴上方磁场，粒子偏转后第1次经过x轴时的位置为P(图中未画出)，第2次经过x轴时的位置为Q(图中未画出)，且粒子从O点到P点的运动时间等于粒子从P点到Q点的运动时间，不计粒子受到的重力。求： (1)从P点到O点的距离； (2)x轴下方匀强磁场的磁感应强度大小。 解析：(1)根据题意可知，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，如图所示。 根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m 根据几何知识有OP＝2rsin θ 联立解得，从P点到O点的距离为OP＝。 (2)粒子在x轴上方做圆周运动的周期为T1＝运动时间为t＝T1＝ ①若x轴下方的磁场方向垂直纸面向外，粒子的运动轨迹如图所示 由于粒子从O点到P点的运动时间等于粒子从P点到Q点的运动时间，根据几何知识有