精品解析：陕西省西安市长安区2024届高三第一次联考数学（理科）试题

长安区2024届高三第一次联考 数学（理科）试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 著名欧拉公式是，则在复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量，，若不超过3，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 某班学生每天完成数学作业所需时间的频率分布直方图如右图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少5分钟，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（ ） A. 减负后完成作业的时间的标准差减少25 B. 减负后完成作业的时间的方差减少25 C. 减负后完成作业的时间在60分钟以上的概率为 D. 减负后完成作业的时间的中位数为25 6. 等比数列满足，则（ ） A. 30 B. 62 C. 126 D. 254 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 9. 在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量，在这些向量中任取两个不同的向量进行数量积运算，则数量积为0的概率为（ ） A B. C. D. 11. 已知函数，若满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（ ） ①农历每月第天和第天的月相外边缘形状相同； ②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为； ③月相外边缘的离心率第8天时取最大值； ④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内． A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率为___________. 14. 若实数满足，则展开式中常数项为______． 15. 一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为______. 16. ，若有两个零点，则取值范围是______. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 体育强则中国强，体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想.某学校从参加体育知识竞赛的学生中抽出200名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，根据图形，回答下列问题. （1）求； （2）估计这次体育知识竞赛成绩的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）在抽出的200位学生中，若规定分数不低于80分的学生为获奖学生，已知这200名学生中男生与女生人数相同，男生中有20人获奖，请补充列联表，并判断是否有99%的把握认为“体育知识竞赛是否获奖与性别有关” 男生 女生 合计 获奖 20 未获奖 合计 附：，其中. 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 图1所示是等腰梯形于点，现将沿直线折起到的位置，连接，形成一个四棱锥，如图2所示． （1）若平面平面，求证：； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面夹角的正弦值． 19. 已知数列的前项和为