2024年九年级中考数学专题复习：二次函数与直角三角形综合压轴题

2024年九年级中考数学专题复习： 二次函数与直角三角形综合压轴题 1．如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线． (1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______； (2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标； (3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，横坐标分别为m，，的点A、B、C在抛物线（a为常数，）的图像上，连接，若点O到的距离等于线段的长． (1)求的值； (2)如图1，当时，若点D为直线BC上方抛物线上一点，过点D作x轴的垂线，分别交于点E、F，连接，若为直角三角形，求点D的坐标； (3)如图2，当时，连接，点G为的中点，是第四象限抛物线上一动点，连接交抛物线于点S，直线与直线交于点N．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的表达式；若不是，请说明理由． 3．已知斜边上的高长为，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边与x轴重合，直角顶点C落在y轴正半轴上，点A的坐标为． (1)求点B的坐标和经过点的抛物线的关系式； (2)如图1，点M为线段上的一个动点（不与点重合），，交线段于点N，，交线段于点P，连接，是否有最大面积？若有，求出的最大面积；若没有，请说明理由； (3)如图2，直线l是经过点C且平行于x轴的一条直线，如果的顶点C在直线l上向右平移m，（2）中的其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 4．如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C， (1)求抛物线的解析式； (2)当x为何取值范围时，y随x的增大而增大？ (3)点P是抛物线的对称轴上一动点，若是直角三角形，求点P的坐标． 5．如图，二次函数的图象与x轴相交于点，B，其顶点是C． (1)______； (2)若点D是第三象限抛物线上的一点，连接，且．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接、、．已知是直角三角形，求点P的坐标． 6．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)如图①，若抛物线的对称轴为直线，． ①点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； ②由①得抛物线的函数表达式为______； (2)将（1）中的抛物线向右平移若干个单位长度，再向下平移若干个单位长度，使平移后的抛物线经过点O，且与轴正半轴交于点，记平移后的抛物线的顶点为，若是直角三角形，则点的坐标为______． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式 (2)P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S． ①求的面积S的最大值 ②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，菱形的顶点，在轴的负半轴，抛物线过点． (1)求的值； (2)若把抛物线沿轴向左平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形的顶点．试判断点是否落在平移后的抛物线上，并说明理由． (3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 11．如图所示，在等腰△ABC中，，以底边的垂直平分线和所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A，B两点．    (1)写出点A，B的坐标． (2)若一条与y轴重合的直线以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段，和抛物线于点E，点M和点P，连接，．设直线移动的时间