1.2.1直角三角形 课件2023－2024学年北师大版八年级数学下册

1.2.1直角三角形 复习回顾 ①直角三角形的两个锐角互余. 问题1 直角三角形的定义是什么? 有一个是直角的三角形叫直角三角形. 问题2 前面我们探究过直角三角形的哪些性质? ②在直角三角形中,如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 新知探究 你能证明这两个结论吗? 知识点一:直角三角形锐角的关系定理 想一想 (1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么? 如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形 是直角三角形吗? 根据三角形的内角和定理,即可得到“直角三角形的两锐角互余”. 根据三角形的内角和定理,即可得到这个三角形是直角三角形. 猜想验证 证明: 直角三角形的两锐角互余. 已知:如图,在 ABC中, ∠C =90 . 求证: ∠A +∠B=90 . 在 ABC中, ∵ ∠A +∠B +∠C=180 ,∠C=90 , ∴ ∠A +∠B=180 -∠C=90 . 证明: 猜想验证 证明: 有两个角互余的三角形是直角三角形. 已知:如图,在 ABC中, ∠A +∠B=90 . 求证: ABC是直角三角形. 在 ABC中, ∵ ∠A +∠B +∠C=180 , 又∠A +∠B=90 ,∴∠C=90 , ∴ ABC是直角三角形. 证明: 总结归纳 直角三角形的性质与判定: 性质定理 直角三角形的两锐角互余. 判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 例题讲解 【例1】如图,在 ABC中,∠C=70 ,∠B=30 ,AD⊥BC于点D,AE为∠BAC的平分线,求∠DAE的度数. 解:由题意可知, ∠BAC=180 -∠B-∠C=80 . ∵AE为∠BAC的平分线, ∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC=40 . ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90 . ∴∠CAD=90 -∠C=90 -70 =20 . ∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=40 -20 =20 . 新知探究 知识点二:直角三角形边的关系定理 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. A C B 关于勾股定理的证明,我们曾用数方格和割补图形的方法进行过验证,实际上,利用基本事实和已有定理,我们能够证明勾股定理. 即 新知探究 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 将勾股定理的题设和结论反过来,怎么叙述呢? 这个命题是真命题吗?为什么? 猜想验证 已知:如图,在 ABC 中, AB2+AC2=BC2. 求证: ABC是直角三角形 . 证明:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 猜想验证 已知:如图,在 ABC 中, AB2+AC2=BC2. 求证: ABC是直角三角形 . 证明:如图(2),作Rt A′B′C′ ,使∠A′=90 ,A′B′=AB, A′C′=AC, 则A′B′ 2+A′C′ 2 =B′C′ 2(勾股定理). ∵AB2+AC2=BC2 , ∴BC2 = B′C′ 2. ∴BC = B′C′. ∴ ABC≌ A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A=∠A′=90 (全等三角形的对应角相等). 因此, ABC是直角三角形. 例题讲解 【例2】已知:在 ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm. 求证:AB=AC. 解:如图, ∵ AD是BC边上的中线, ∴ BD= BC= 10=5(cm). 在 ABD中,∵AB=13 cm,AD=12 cm,BD=5 cm, ∴AB2=AD2+BD2. ∴ ABD为直角三角形. ∴ AD⊥BC. 在Rt ADC中,AC= =13(cm), ∴ AB=AC. 新知探究 知识点三:逆命题与逆定理 议一议:观察上面第一个定理和第二个定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定理和第四个定理呢? 定理:直角三角形的两个锐角互余. 定理:有两个角互余的三角形是直角三角形. 定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 条件和结论互换了位置 总结归纳 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题称为互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题就叫做它的逆命题. 原命题都存在逆命题, 但是互逆命题的真假无法保证 总结归纳 如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 注意1:逆命题、互逆命题不一定是真命题, 但逆定理、互逆定理,一定是真命题. 注意2:不是所有的定理都有逆定理. 定理:“两直线平行,内错角相等” 逆定理:“内错角相等,两直线平行” 举例 例题讲解 【例3】指出下列命题的条件和结论,并说出