2024年中考九年级数学专题复习：反比例函数与几何综合（提升篇）

2024年中考九年级数学专题复习：反比例函数与几何综合 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．    2．如图，在平面直角坐标系中，点，为的顶点，，点C在x轴上．将沿x轴水平向右平移a个单位得到，A，B两点的对应点，恰好落在反比例函数的图象上．    (1)求a和k的值； (2)作直线l平行于且与，分别交于M，N，若与四边形的面积比为，求直线l的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．某数学活动小组在研究反比例函数与几何图形位置关系时，经历了如下过程： 如图1，正方形在平面直角坐标系第一象限中，轴，轴，，．    (1)发现问题：小明说：“对于任意的点一定存在一个反比例函数的图象同时经过点．” 小红说：“这是一个假命题．” 你支持谁的说法，请说明理由． (2)数学思考：若存在一个反比例函数的图象同时经过点，则与之间的数量关系为______________． (3)数学应用：①若点，反比例函数同时经过点，则_____________； ②在①的条件下，如图2，点分别在的延长线上，且，反比例函数的图象同时经过点，则___________； ③在②的条件下，若点在反比例函数上，且四边形是正方形，则____________． 4．如图，点、在反比例函数的图象上，点坐标为，连接．    (1)求直线的函数解析式； (2)①点在直线上运动，当的长最小时，求点的坐标； ②______． 5．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上．点是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．已知，． (1)求的值； (2)当点在上移动时，与的面积差记为，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？ (3)延长、交过点的双曲线分别于点、，连接，求证：． 6．如图，射线在第一象限内，射线在第二象限内，，射线与函数交于点A，射线与函数交于点B，连接，根据下列条件解答问题： (1)如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，求证：； (2)如果点A的坐标是，求点B的坐标； (3)当在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中，的度数是否保持不变？如果不变，求的值？如果变化，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在x轴，y轴的正半轴上，对角线，相交于点D，将正方形绕点O逆时针旋转α（）得正方形，点的对应点分别是，函数的图象记为图象G． (1)当，时，点恰好在图象G上，求k的值； (2)当点同时在图象G上时，点横坐标为4，求k的值； (3)点P为x轴上一动点，当时，图象G过点D，且的值最小时，，求k的值． 8．在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与AB边交于点，，面积为3．    (1)求反比例函数关系式； (2)点M是x轴上一点，当以点M、D、E为顶点的的周长最小时，求出M点的坐标； (3)P是线段AB边上的点．是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界）， 当时，区域的整点个数为 ； 直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围． 10．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过正方形的顶点，点在线段上，点在射线上，以，为边的平行四边形的顶点恰好在该反比例函数的图象上． (1)若