2.3 简单的三角恒等变换课件-2023-2024学年-高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

高中数学湘教版必修第二册 第二章　三角恒等变换 2.3 简单的三角恒等变换 第1课时　半角公式 教材要点 要点一　半角公式 状元随笔　 巧记“半角公式” 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数1余弦加减连，角小值大用加号． “角小值大用加号”即y＝1＋cos α(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cos α为增函数，角大值大，因此用“ －”号． 要点二 　万能公式 sin α＝，cosα＝，tanα＝. 状元随笔　(1)万能公式是恒等式，只要使等式两边都有意义的角都成立． (2)万能公式的“万能”在于它能将角α的所有三角函数值用tan来表示，是处理三角函数问题的一个重要公式． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)cos ＝.(　　) (2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　) (3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　) (4)若α是第一象限角，则tan ＝.(　　) × √ × √ 2．sin ＝(　　) A． B． C．2－ D． 答案：B 解析：因为sin ＝± ，所以sin ＝ ＝ ＝. 3．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos 的值为(　　) A． B．－ C．± D．± 答案：A 解析：因为α∈(0，π)，所以∈. 所以cos ＝＝＝. 4．已知sin x＝＜x＜π，则tan ＝________． 5＋2 解析：由已知得cos x＝－＝－， 所以tan ＝＝＝5＋2. 题型 1　半角公式的应用 例1　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan . 解析：∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．当为第二象限角时，sin ＝＝，cos ＝－＝－， tan ＝－＝－； 当为第四象限角时，sin ＝－＝－， cos ＝＝，tan ＝－＝－. 方法归纳 利用半角公式求值的思路 (1)看角：看已知角与待求角的2倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常利用tan ＝＝计算，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． 跟踪训练1　已知sin α＝－，π＜α＜，则sin ＝________，cos ＝________． － 解析：∵π<α<，sin α＝－， ∴cos α＝－，且<<， ∴sin ＝＝，cos ＝－＝－. 题型 2　万能公式的应用 例2　若cos α＝－，α是第三象限角，则＝(　　) A．－ B． C．2 D．－2 答案：A 解析：∵α是第三象限角，∴是第二、四象限角，∴tan ＜0. ∵cos α＝＝－，∴tan＝－3，∴＝＝－. 方法归纳 利用万能公式求得tan ，这是解题的关键． 跟踪训练2　若tan α＝－，则sin ＝________． － 解析：sin 2α＝＝＝－，cos2α＝＝＝， 所以sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝－. 题型 3　三角恒等式的证明 例3　求证：＝sin 2α. 证明：方法一　左边＝＝＝＝cos αsin cos sin αcos α＝sin 2α＝右边．所以原式成立． 方法二　左边＝＝cos2α·＝ cos2αtanα＝cos αsin α＝sin 2α＝右边． 所以原式成立． 方法三　左边＝＝＝sin αcos α＝sin 2α＝右边． 方法归纳 三角恒等式证明的思路 通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一． 跟踪训练3　求证：－tan θ·tan 2θ＝1. 证明：方法一　－tan θ·tan 2θ＝ ＝＝ ＝＝＝1. 方法二　左边＝－tan θ· ＝＝1＝右边 所以原等式成立． 易错辨析　忽视角的范围，错选公式致误 例4　已知sin α＝－，则tan ＝___________. －或－2 解析：因为sin α＝－，所以cos α＝±. 若cos α＝，则tan ＝＝＝－； 若cos α＝－，则tan ＝＝＝－2. 易错警示 易错原因 纠错心得 由半角公式tan ＝＝可知，tan 和sin α的符号相同．本题若直接运用半角公式tan ＝±就会得到下面的错解： 因为sin α＝－，所以cos α＝±. 若cos α＝，则tan ＝± ＝±＝±； 若cos α＝－，则tan ＝± ＝±＝±2. 在已知α的某个三角函数值求tan 时，直接运用tan ＝＝可回避运用公式tan ＝±时对“