2.1 两角和与差的三角函数课件-2023-2024学年-高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

高中数学湘教版必修第二册 第二章　三角恒等变换 2.1 两角和与差的三角函数 2.1.1　两角和与差的余弦公式 教材要点 要点　两角和与差的余弦公式 状元随笔　 公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式． 名称 简单符号 公式 使用条件 两角差 的余弦 C(α－β) cos (α－β)＝ ____________________ α，β为任意角 两角和 的余弦 C(α＋β) cos (α＋β)＝ ____________________ cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意角α，β，都有cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　) (2)存在角α，β，使得cos (α－β)＝cos α－cos β.(　　) (3)对任意角α，β，都有cos (α－β)＝cos α－cos β.(　　) (4)存在角α，β，使得cos (α＋β)＝cos α－cos β.(　　) × √ × √ 2．cos 105°＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：cos 105°＝cos (60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°， ＝＝. 3．cos 45°·cos 15°－sin 45°·sin 15°等于(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：原式＝cos (45°＋15°)＝cos 60°＝. 4．已知cos α＝，α∈，则cos ＝________． 解析：因为cos α＝，α∈， 所以sin α＝＝＝. 所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝＝. 题型 1　给角求值 例1　求值： (1)cos 165°； (2)cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 195°； (3)cos (α＋45°)cos α＋sin (α＋45°)sin α； (4)cos 15°＋sin 15°. 解析：(1)cos 165°＝cos (180°－15°)＝－cos 15° ＝－cos (45°－30°)＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝－＝－. (2)cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15° ＝cos (75°＋15°)＝cos 90°＝0. (3)cos (α＋45°)cos α＋sin (α＋45°)sin α＝cos [(α＋45°)－α] ＝cos 45°＝. (4)cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos (60°－15°)＝cos 45°＝. 方法归纳 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的和差，正用公式直接求解． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值． 跟踪训练1　(1)cos (45°－α)cos (15°＋α)－sin (45°－α)·sin (15°＋α)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：原式＝cos (45°－α＋15°＋α)＝cos 60°＝. (2)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°＝________． 答案： 解析：原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos (63°－33°)＝cos 30°＝. 题型 2　给值求值 角度1　直接法求值 例2　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos (α－β)的值． 解析：由sin α＝，α∈，得cos α＝－ ＝－＝－ 又由cosβ＝－，β∈，得sin β＝－ ＝－＝－ 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝··＝－. 方法归纳 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)已知角的一个弦值，求另一个弦值时，一定注意已知角的范围． 角度2　拆角变换求值 例3　若0＜α＜，－＜β＜0，cos ＝，cos ＝，求cos 的值． 解析：∵0<α<，－<β<0， ∴<α＋<<<， 又∵cos ＝，cos ＝， ∴sin ＝，sin ＝， ∴cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝ ＝. 方法归纳 将未知角拆分成已知角的和差，即将未知角用已知角表示出来，使