1.6.2正弦定理课件-2023-2024学年-高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

高中数学湘教版必修第二册 第一章　平面向量及其应用 1.6　解三角形 1.6.2　正弦定理 第1课时　正弦定理(1) 教材要点 要点一　正弦定理及常见变形 状元随笔　(1)正弦定理对任意三角形都适用． (2)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径． (3)正弦定理是直角三角关系的一个推广，它的主要功能是实现三角形中的边角互化． (4)通过正弦定理可“知三求一”．   文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的________的比值相等 符号语言 ________＝________＝________ 正弦 要点二　利用正弦求三角形面积 S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正弦定理对任意的三角形都成立．(　　) (2)在△ABC中，等式b sin C＝c sin B总能成立．(　　) (3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．(　　) (4)任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(　　) √ √ √ × 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝，A＝60°，B＝45°，则b＝(　　) A． B．2 C． D．2 答案：A 解析：由正弦定理可得＝，即＝，解得b＝. 3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　) A． B． C． D．1 答案：B 解析：∵a＝3，b＝5，sin A＝， ∴由正弦定理得sin B＝＝＝. 4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________． 解析：由正弦定理得sin B＝＝＝ 又b<a，∴B＝，∴C＝. 题型 1　已知两角及任意一边解三角形 例1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 解析：因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2()． 方法归纳 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝＝＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练1　△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　) A．1 B． C． D．2 答案：D 解析：由已知得C＝180°－B－A＝30°，根据正弦定理：＝，故c＝2. 题型 2　已知两边及其中一边的对角解三角形 例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形． 解析：∵＝，∴sin C＝＝＝， ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 变式探究　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解析：∵＝，∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 方法归纳 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)利用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． (2)利用三角形内角和为180°求出第三个角． (3)根据正弦定理求出第三条边． 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值． 跟踪训练2　(1)若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，a＝2，b＝4，则B＝(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．以上都不对 解析：由正弦定理可得＝，∴sin B＝. ∵b>a，∴B>A.∵0°<B<180°，∴B＝45°或135°. 答案：C (2)(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是(　　) A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．a＝7，b＝5，A＝60° C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝3，c＝4，cos C＝ 答案：ABD 解析：对于A，因为A＝45°，C＝70°，所以B＝65°，结合b＝10，△ABC唯一确定； 对于B，由正弦定理得，sin B＝＝<1.因为b<a，所以B<A，所以此时B只有一个解，△ABC唯一确定； 对于C，由正弦定理得，sin B＝＝.因为b>a，所以B>A，且sin B＝>