1.4 向量的分解与坐标表示课件-2023-2024学年-高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

高中数学湘教版必修第二册 第一章　平面向量及其应用 1.4 向量的分解与坐标表示 1.4.1　向量分解及坐标表示 教材要点 要点一　平面向量基本定理 1．定理：设e1，e2是平面上两个________向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即__________，其中x，y是实数． (2)实数x，y由___________唯一决定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′. 2．基：我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标． 不共线 v＝xe1＋ye2 v＝xe1＋ye2 状元随笔　 平面向量基本定理的理解 是同一平面内的两个不共线的向量，的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基． (2)平面内的任一向量都可以沿基进行分解． (3)基确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 要点二　平面向量的正交分解与坐标表示 1．把一个向量分解为两个________的向量，叫作把向量正交分解． 2．平面上互相垂直的________向量组成的基称为标准正交基，记作________，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)． 3．若单位向量e1，e2的夹角为90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1与v的夹角为α，则v＝____________． 状元随笔　 标准正交基是平面向量的一组特殊的基． 互相垂直 单位 {i，j} (r cos α，r sin α) 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基．(　　) (2)平面向量的基确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基唯一表示．(　　) (3)若{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内．(　　) (4)基向量可以是零向量．(　　) × √ × × 2．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组是这个平行四边形所在平面的一组基的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 答案：AC 解析：A中：与不共线；B中：＝－，则与共线；C中：与不共线；D中：＝－，则与共线．由平面向量基的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基，故AC满足题意． 3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝(　　) A．(a－b) B．2b－a C．(b－a) D．2b＋a 答案：B 解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝)，则＝2＝2b－a. 4．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝________． (2，－3) 解析：在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝(2，－3)． 题型 1　对平面向量基本定理的理解 例1　(1)设e1，e2是同一平面内的两个向量，则有(　　) A．e1，e2一定平行 B．e1，e2的模相等 C．对同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) D．若e1，e2不共线，则对同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) 答案：D 解析：D选项符合平面向量基本定理．故选D. (2)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，下列四组向量中能作为基的是(　　) A．e2和e1＋e2 B．2e1－4e2和－e1＋2e2 C．e1和e1－e2 D．e1＋2e2和2e1＋e2 答案：ACD 解析：e1、e2是平面内所有向量的一组基， e2和e1＋e2，显然不共线，可以作为基； e1和e1－e2，显然不共线，可以作为基； 2e1－4e2和－e1＋2e2，存在－2，使得2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不可以作为基； 因为e1＋2e2和2e1＋e2不存在λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，故不共线，可以作为基． 方法归纳 对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基． (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样．   跟踪训练1　如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基的一组向量是(　　) A． B． C