2024年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（特殊图形存在性问题）

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（特殊图形存在性问题） 1．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点M，当最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使是直角三角形若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，D是x轴上的一个动点（不与点A，O，B重合），过点D作轴，分别交抛物线，直线于点P，E．设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数解析式及点C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)当点D在线段上运动，且E为的中点时，求m的值． (3)连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，点的坐标是 (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，过点作轴的垂线，在上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，其中点在原点左侧，抛物线与轴负半轴交于点，，拋物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若该抛物线与直线交于点，，，为抛物线对称轴上一点，连接并延长，交抛物线于点，连接交拋物线对称轴于点， ①如图2，若，直线交对称轴于点，，求的长度； ②求证：不论取何值，抛物线上都存在定点，使得是以为底边的等腰三角形． 6．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线于点M，交直线于点E．    (1)求抛物线的解析式； (2)若平分时，试求Q点的坐标； (3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 7．如图，已知直线与抛物线交于点和两点，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于Q，于点N．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线下方时，求线段的最大值； (3)是否存在点P使得是直角三角形，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由； (4)坐标轴上是否存在点M，使得以点P，N，Q，M为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由 8．综合与实践 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是直线下方抛物线上一点，设点的横坐标为．过点作，交于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长度最大时，求线段的最大值，并写出此时点的坐标； (3)连接，试探究，在点运动的过程中，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．综合与探究 如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．    (1)求抛物线解析式； (2)当，t的值为___________； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； (4)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．综合与探究： 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．直线与抛物线的对称轴交于点．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点，与抛物线的对称轴交于点．    (1)求出点，，的坐标，并直接写出直线，的解析式； (2)当是以为斜边的直角三角形时，求出的值； (3)直线上是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．已知抛物线与x轴交于B、C两点（点在点的左侧），与y轴交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使最大时点的坐标和的面积； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为