6.3.2 二项式系数的性质教案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质教案 【教学目标】 1. 能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题. 2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数. 【重点难点】 重点： 二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；  难点：理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点； 利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透. 一、新课引入 探究1：计算展开式的二项式系数并填入下表 二项式系数: 通过计算、填表、你发现了什么规律？ n 的展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 将上表写成如下形式： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 思考：通过上表和上图，能发现什么规律？ 展开式的二项式系数 我们还可以从函数的角度分析它们。可看成是以为自变量的函数， 其定义域是 我们还可以画出它的图像。 例如，当时， 函数()的图像是7个离散的点，如图所示。 探究2.已知 = ，求+…+ 2、 知识探究 学习目标一 知识探究 1．二项式定理 (a＋b)n＝____________________________________________ (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项． (3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______. 3. 二项式系数的性质 （1）.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 （2）.增减性与最大值： 当k<时,随k的增加而增大;由对称性可知,当k>时,随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值. （3）.各二项式系数的和：+…+= 学习目标二 二项式系数和 例3.求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. (2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 跟踪训练：在(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和. 学习目标三 二项式中关于系数的最值问题 例4.已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和 系数最大的项. 求二项展开式中系数的最值的方法 (1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值. (2)若二项展开式的系数为f(k)=·mg(k)的形式. 如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数最大,应用解出k,即得系数最大的项. 三、课堂检测 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(　　) （2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.(　　) （3）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　) （4）在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.(　　) (　　) (　　) 2．某校开设A类选修课3门，B类选修课4 门，若要求从两类课程中选一门，则不同的 选法共有（ ） A