2024年九年级中考数学专题复习：圆与锐角三角函数综合相关证明

2024年九年级中考数学专题复习：圆与锐角三角函数综合相关证明 1．如图，已知在中，点O是斜边上的动点，以点O为圆心，长为半径的与直角边相切于点D，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，，求与的值． 2．如图，是的直径，与相切于点E，点C在上，连接，且，点F在线段的延长线上 (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．如图，四边形是平行四边形，以边为直径作，与边相切于点D，点E是直径下方上一点，连接． (1)求的度数； (2)若，，求的直径． 4．如图，在中，，以为直径的交于点，点在的延长线上，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径长及的值． 5．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为，点在的延长线上，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 6．如图，是的半径，与相切于点A，点C在上且，D为的中点，连接，连接交于点E，交于点F．    (1)求证：； (2)若， ，求的长． 7．如图，在中，是直径，弦，垂足为，为弧上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 8．如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连结交于点，连结． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 9．如图，为的直径，为圆上两点，． (1)尺规作图：作于（保留作图痕迹，不用写作图步骤）； (2)求证：是的切线； (3)若，的值． 10．如图，是的外接圆，为直径，，，交的延长线于点． (1)求证：． (2)求证：是的切线． (3)若，求． 11．如图，已知内接于，直径交于点E，连接，过点C作，垂足为F．过点D作的切线，交的延长线于点G．若． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 12．如图，为的直径，直线切于点C，，垂足为D． (1)若，求； (2)若，，求的长． 13．如图，是的直径，是上的两点，且，交于点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，， ①求的长； ②求的半径． 14．如图所示，是线段延长线上的点，矩形的外接圆过的中点． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若是的切线，求的值． 15．如图，已知点都在上，连接平分，与交于点，交的延长线于点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证； (3)若，，当为何值时，为等腰三角形． 16．如图，四边形内接于，，为直径，E为一动点，连结交于点，交于点，连结． (1)设为α，请用α表示的度数． (2)当时， ①求证：． ②当，时，求半径的长． 17．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 18．如图，点C在的直径的延长线上，点D是上一点，过C作，交的延长线于点E，连接，且． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】本题主要考查了切线的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）连接，根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求证； （2）过点于点F，根据勾股定理可得，可求出；再由角平分线的性质可得，再证明，可得，设的半径为r，则，根据勾股定理，可求出，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与直角边相切于点D，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的角平分线； （2）解：如图，过点于点F， ∵，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r，则， ∵， ∴， 解得：， 即， ∵， ∴， ∴． 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，即可证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵EF与相切； ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 3．(1) (2)12 【分析】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、勾股定理、同弧所对的圆周角与圆心角的关系等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型． （1）连接．先证明，再根据平行四边形的性质得，从而得出，再根据等腰三角形性质求得结果． （2）连