2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明及相关计算

2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明及相关计算 1．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 2．如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 3．如图，为的直径，，C为上一点，，垂足为，且交于E，C是弧的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求的长． 4．如图，点在以为直径的上，平分，且于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 5．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长． 6．如图，，分别是半的直径和弦，于点，过点作半的切线，与的延长线交于点．连接并延长与的延长线交于点． (1)求证：是半的切线； (2)若，，求线段的长． 7．如图，点，，在上，是直径，是弦，点是外一点，分别作射线，，其中是的切线，线段． (1)求证：是的切线． (2)若，求的度数． 8．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 9．如图，在中，弦，点B为弧的中点，交于点M，过点B作，交的延长线于点E，及其延长线分别交，于点N，F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 10．如图，为的直径，为上一点，连接，点是的中点，交的延长线于点，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 11．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为4，求线段的长． 12．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为，点在的延长线上，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 13．如图，是的直径，C、D为上的点，点E在的延长线上，直线经过点C，已知，． (1)求证：为的切线． (2)若，的半径等于，求绕旋转一周得到的几何体的表面积（结果保留）． 14．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 15．如图，在中，，以为直径的分别交线段、于点、，过点作，垂足为，线段、的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 16．综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 17．如图 1，为 的外接圆，，为与的交点，为线段延长线上一点，且．    (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的半径； (3)如图 2，在（2）的基础上，点在上，且，点是的内心，连接，请补全图形，并求 的长． 18．如图1所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，连接，平分交于点F，直线l过点F与线段的延长线交于点E．且满足． (1)求证：直线l是的切线； (2)如图2所示，若点D是弧的中点．延长交直线l于点G，且； ①求证：；②若，，求四边形的周长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分， ， 是的半径，又， 是的切线； （2）解：由（1）知 根据勾股定理得， ，均为的切线，切点分别为和 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 即． ． 2．(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接． ， ， ， ， ， ． ， ， 是的切线； （2）解：，为直径， 是的切线． 是的切线， ， ， ． ， 在中，， ， ． 的半径为1． 3．(1)证明见解析； (2)4.8； (3)6． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出，于是可判断，由于，则，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，由于，则可判断，然后利用相