9.3.2 向量坐标表示与运算课件-2023-2024学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

高中数学苏教版必修第二册 第9章　平面向量 9.3 向量基本定理及坐标表示 9.3.2 向量坐标表示与运算 第1课时　向量及其线性运算的坐标表示 课标阐释 1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的坐标表示.(几何直观、逻辑推理) 2.会用坐标表示平面向量的加减数乘运算.(逻辑推理、数学运算) 思维脉络 【激趣诱思】 在物理的学习中我们知道:飞机沿仰角为α的方向起飞的速度v,可分解为水平方向的速度vcos α和竖直方向的速度vsin α. 把一个向量分解到两个不同的方向,特别是两个互相垂直的方向,可使许多度量问题变得较为简单,这就是向量的正交分解. 有了向量的正交分解,向量就可用平面直角坐标表示,从此向量的计算就转化为坐标的代数运算.本节我们就学习向量的坐标表示. 【知识梳理】 一、向量的坐标表示 如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数(x,y),使得a=xi+yj.  　xi,yj分别为向量a在向量i,j上的投影向量 我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y).特殊向量的坐标: i= (1,0) ,j= (0,1) ,0=(0,0). 微判断 (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关.(　　) (2)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.(　　) 微练习 在平面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量, 且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是　　　　　,　　　　　,　　　　　.  答案 (2,-6)　(0,5)　(-4,0) √ √ 二、向量线性运算的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表: 向量线 性运算 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a+b= (x1+x2,y1+y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a-b= (x1-x2,y1-y2) 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来的相应坐标 λa= (λx1,λy1) 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1).   当点A为坐标原点时,向量 坐标和点B的坐标一致 微练习 (2)若a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=　　　　　.  答案 (1)(4,6)　(2)(5,7) 微思考 向量的终点坐标与此向量的坐标完全相同吗? 提示 向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同,当且仅当向量的起点是坐标原点时,向量的坐标和这个向量的终点的坐标才相同. 探究一 平面向量的坐标表示 例1在平面直角坐标系中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标. 技巧方法 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的向量的坐标. (2)求一个向量的坐标,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 探究二 向量线性运算的坐标表示 例2已知a=(-1,2),b=(2,1),求: 解 (1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1) =(-1,2)-(6,3)=(-7,-1). 要点笔记 向量的坐标运算最终是转化成实数的运算. A.(-7,-4)　　　　　　 B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) (2)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c满足3a-2b+c=0,则c=(　　) A.(-23,-12) B.(23,12) C.(7,0) D.(-7,0) (2)由3a-2b+c=0, ∴c=-3a+2b=-3(5,2)+2(-4,-3)=(-23,-12), ∴c=(-23,-12). 探究三 平面向量坐标运算的应用 反思感悟 平面向量坐标运算的应用技巧 (1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等,对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值. (2)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求基底向量和被表示向量的坐标,再利用待定系数法求解.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出实数x,y的值. 素养形成 线段定比分点的坐标公式及应用 1.线段定比分点的定义 2.定比分点的坐标表示 A.(3,8) B.(1