专题1.1 二元一次方程组（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题1.1 二元一次方程组（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【知识点二】二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 【知识点四】三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【考点一】二元一次方程组的相关概念 【例1】（2022·河北保定·校考一模）对于题目：“若方程组的解为，且整式，求：整式A的值．” 小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0； 小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6． （1）小明将系数□看成的数是多少？ （2）化简整式A． 【答案】（1）小明将系数□看成的数是；（2） 【分析】（1）先求出，设小明将系数□看成了m，则，根据小明求的A的值，得到关于m的方程，解方程即可得到； （2）设正确的□为n，则，根据小宇求的A的值为6得到，解得：，即可得到答案． （1）解：∵方程组的解为 ∴，解得． 设小明将系数□看成了m，则， ∵小明求的A的值为0， ∴， 解得：，即小明将系数□看成的数是； （2）设正确的□为n， 则， ∵小宇求的A的值为6 ∴，解得：， ∴． 【点拨】此题考查了二元一次方程组的解、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，熟练掌握一元一次方程的的解法和整式的加减法则是解题的关键 【举一反三】 【变式1】（2024上·河北保定·八年级校考期末）已知是关于、的二元一次方程组的解，则△和？代表的数分别是（    ） A．3和 B．和3 C．1和5 D．5和1 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义，将代入①可求得，即可求解；理解二元一次方程组解的定义：“使得二元一次方程组中每