专题01 等腰三角形重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 等腰三角形重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 等腰三角形的定义 题型二 根据等边对等角求角度与证明 题型三 根据三线合一求解与证明 题型四 格点图中画等腰三角形 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 题型六 根据等角对等边证明边相等 题型七 根据等角对等边求边长 题型八 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型九 作等腰三角形 题型十 等腰三角形的性质与判定 题型十一 等边三角形的性质 题型十二 等边三角形的判定 题型十三 含30°角的直角三角形 题型十四 等腰三角形的综合 【知识梳理】 知识点1 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点3 等边三角形的概念与性质 2. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点4 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点5 含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【经典例题一 等腰三角形的定义】 【例1】（2024·全国·八年级竞赛）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，现在轴上找一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．（2023上·湖北黄石·八年级统考期末）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·八年级竞赛）直线上有一点，直线上取任一点，A、B两点和原点O恰好可以组成等腰三角形的情况有 种． 3．（2024上·河南信阳·七年级统考期末） 如图， 在直角三角形中，， 点M、N分别在边、上，且． (1)画出直角三角形关于直线 对称的三角形； (2)如果， ， ， 用a、 b、 x的代数式分别表示三角形的面积和四边形的面积S， 并化简． 【经典例题二 根据等边对等角求角度与证明】 【例2】（2024上·四川内江·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ） ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，为的角平分线，P为上一点，且于D，，给出下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤四边形的面积是面积的2倍．其中正确的有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 2 ．（2024上·山西忻州·八年级校联考期末）如图，在中，，，，为的中点，将沿所在直线进行翻折，使点的对应点为点，连接，则的长为 ． 3．（2024上·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）如图，在等腰中，，，F为上一点，于点E． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，过A作于点D，求证：． (3)若，，，求的值． 【经典例题三 根据三线合一求解与证明】 【例3】（2024上·河北沧州·八年级统考期末）如图，等腰的底边长为3，面积是6，腰的垂直平分线分