专题02 直角三角形重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题02 直角三角形重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 直角三角形的两个锐角互余 题型二 用HL证全等 题型三 全等的性质与HL综合 题型四 判断三边能否构成直角三角形 题型五 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型六 在网格中判断直角三角形 题型七 利用勾股定理的逆定理求解 题型八 勾股定理逆定理的实际应用 题型九 勾股定理逆定理的拓展问题 题型十 锐角互余的三角形是直角三角形 题型十一 直角三角形的综合 【知识梳理】 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点3 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点4 直角三角形的判定（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点5 命题 内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。 【经典例题一 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（2024上·江苏苏州·八年级期末）如图，将长方形纸条沿着线段折叠，点对应点为、，线段与边交于点，若，则的度数是( ) A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）如图，在中，，是边上的高，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2024上·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，在中，，，，是边上的中线．    （1）若，则的度数是 ；（用含m的式子表示） （2）若点P是线段上的一个动点，点Q为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 3．（2014·山东泰安·统考一模）已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【经典例题二 用HL证全等】 【例2】（2023上·福建泉州·八年级校考期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023下·广东深圳·八年级统考期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．    对这两种画法的描述中正确的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 2．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，E、B、F、C在同一条直线上，若，，．则全等的根据是 ．    3．（2023上·江苏无锡·八年级校联考