专题03 垂直平分线、角平分线重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题03 垂直平分线、角平分线重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 垂直平分线的性质 题型二 垂直平分线的判定 题型三 利用垂直平分线求周长 题型四 垂直平分线的实际应用 题型五 角平分线的性质 题型六 角平分线的判定 题型七 角平分线的实际应用 题型八 作角平分线 题型九 作垂线 题型十 轴对称综合题 【知识梳理】 知识点一：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 知识点二：角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【经典例题一 垂直平分线的性质】 【例1】（2023上·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024上·安徽滁州·八年级统考期末）如图，中，，D为底边的中点，，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·四川内江·八年级统考期末）如图，，在内有一点P，，垂直于点M，垂直于点N，且，，连接，，则 ．    3．（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）综合与探究 如图，在中，，M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作于点P，延长至点N，使，连接． (1)求的度数； (2)如图1，当M为的中点时，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，点C关于的对称点为D，连接交于点E，连接，，若，求的度数．（用含的代数式表示） 【经典例题二 垂直平分线的判定】 【例2】（2023上·江苏连云港·八年级统考阶段练习）如图，是的角平分线，于点E，于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④． 正确的有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（2024上·陕西西安·八年级校考期末）如图，已知四边形中，，，，则点到的距离为（      ） A