第1章 微专题1 必备素养(抽象与推理能力) 几何角度理解乘法公式（课件PPT）-【思而优·全程突破】2024年春七年级数学下册同步训练（北师大版）

微专题1　必备素养(抽象与推理能力)　 几何角度理解乘法公式 第一章　整式的乘除 结构特点：已知两个或者多个图形，求面积或者体积． 处理策略：利用等面积法寻找数量关系． 首页 1．【例】如图1，是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)． 首页 图1 (1)观察图2，请你写出(a＋b)2、(a－b)2、ab之间的等量关系：_____________________； 图2 (a－b)2＋4ab＝(a＋b)2 (2)根据(1)中的结论，若x＋y＝5，xy＝ ，求x－y的值； 首页 (3)变式应用：若(2 019－m)2＋(m－2 021)2＝20，求(2 019－m)(m－2 021)的值． 首页 2．要说明(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程． (1)小刚：可以根据乘方的意义来说明等式成立； 首页 解：小刚： (a＋b＋c)2 ＝(a＋b＋c)(a＋b＋c) ＝a2＋ab＋ac＋ab＋b2＋bc＋ac＋bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac； (2)小王：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立； 首页 解：小王： (a＋b＋c)2 ＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋b2＋2ab＋2ac＋2bc＋c2； (3)小丽：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立． 首页 解：小丽：如图所示： (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＋ab＋ac＋bc ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 3．若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(x－4)2＋(x－9)2的值． 解：设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝5， ∴(x－4)2＋(x－9)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17. 请仿照上面的方法求解下面问题： 首页 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足(x－2 018)2＋(x－2 021)2＝41，求(x－2 018)(x－2 021)的值； 首页 解：设x－2 018＝a，x－2 021＝b， ∴a2＋b2＝41，a－b＝3， ∴－2(x－2 018)(x－2 021) ＝－2ab ＝(a－b)2－(a2＋b2) ＝9－41 ＝－32， ∴(x－2 018)(x－2 021)＝16； (2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是35，分别以MF，DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积． 首页 解：∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3， ∴FM＝DE＝x－1，DF＝x－3， ∴(x－1)·(x－3)＝35， ∴(x－1)－(x－3)＝2， ∴阴影部分的面积＝FM2－DF2＝(x－1)2－(x－3)2. 设(x－1)＝a，(x－3)＝b， 则(x－1)(x－3)＝ab＝35， (x－1)－(x－3)＝a－b＝2， ∴(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝4＋140＝144. ∵a＞0，b＞0， ∴a＋b＞0， ∴a＋b＝12， ∴(x－1)2－(x－3)2 ＝a2－b2 ＝(a＋b)(a－b) ＝12×2 ＝24. 即阴影部分的面积是24. 首页 4．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)对于等式(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为________，宽为________，用长乘宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和； 首页 a＋2b a＋b (2)如图2，试用两种不同的方法求它的面积． 方法1：________________________________________； 方法2：________________________________________； 数学等式：______________________________________； 首页 (a＋b＋c)2 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac (3)利用(2)中得到的数学等式，解决以下问题： 已知a＋b＋c＝8，a2＋b2＋c2＝26，求ab＋bc＋ac的值． 首页 解：∵a＋b＋c＝8，a2＋b2＋c2＝26， ∴(a＋b＋c)2＝82， a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝64， 26＋2(ab＋bc＋ac)＝64， 2(ab＋bc＋ac)＝38， ab＋bc＋a