18.2.2 菱形 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

人教版数学八年级下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 菱形 第1课时 菱形的性质 导入新课 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 将一张矩形的纸对折，然后沿着图中的虚线剪下，猜猜看，打开是个什么图形，自己动手做一做. 观察得到的四边形的形状，它是一个怎样的四边形呢？ 思考 探究新知 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形. 有一个角是直角 思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 菱形 邻边相等 定义： 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 归纳 有一组邻边相等的平行四边形. 探究新知 活动 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题: 问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题1 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两条对角线有什么关系? 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， A B C O D 证一证 求证: (1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. 解：（2）∵AB = AD, A B C O D ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 知识归纳 对边相等 四个角都是直角 对角线互相 平分且相等 四边相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 矩形的性质 菱形的性质 对角相等 对角线互相平分 对边相等 平行四边形的性质 比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形. 探究新知 由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？ F M N E G A B D C O 问题2 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形ABCD的面积呢? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢? E 过点A作AE⊥BC于点E, 则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE. 能 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积. A B C D O 解：∵四边形ABCD是菱形， 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC = AC·BO+ AC·DO = AC(BO+DO) = AC·BD. 菱形的面积计算有如下方法： 归纳 (1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)； (3)两条对角线长度乘积的一半． 例题与练习 例1　如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． A　 B　 C　 D　 O　 解：∵花坛ABCD是菱形， 1.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4. 求AC和BD的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， 练习 ∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO， ∴△ABO是直角三角形， ∴BO= =3 ∴AC=2AO=8，BD=2BO=6 2.菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积. 解：菱