4.2.1等差数列的概念与通项公式讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

03等差数列的概念与通项公式 课标要求1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，能运 用通项公式解决一些简单的问题 素养要求在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过 程中，发展数学抽象和逻辑推理素养 问题导学预习教材·必备知识探究 一、等差数列的概念 等差数列的概念 从第2项起 条件 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 温馨提醒(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前 一项的差”相吻合： (②)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强 调了：①作差的顺序：②这两项必须相邻： ()定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这 个数列不能称为等差数列. 二、等差中项 (1)条件：如果a,A,b成等差数列. (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式是a+b=24, 温馨提醒(1)任意两个实数都有等差中项 (2)应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列，即2a,=a,-1十a+1(n≥2) 台{an}为等差数列 三、等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式是am=a十(n一I)d 温馨提醒(1)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某 一个数是不是该数列中的项： (2)根据等差数列的两个己知条件建立关于“基本量”41和d的方程组，求出a1 和d,从而确定通项公式，求得所需求的项 互动合作研析题型·关键能力提升 题型一等差数列的概念 例1判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d ①1,3,5,7,9，… ②9,6,3,0，-3，… ③1,3,4,5,6， ④7,7,7,7,7，…： ⑤1,12,13,14,15，… 解①是，a1=1,d=2:②是，a=9,d=-3;③不是；④是，4=7，d=0: ⑤不是， 思维升华利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的 差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列 训练1（多选）下列数列是等差数列的是() A1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.13,23,1,43,53 D.-3,-2,-1,1,2 答案ABC 解析由等差数列的定义得， A项d=0,故是等差数列： B项d=3,故是等差数列： C项d=13,故是等差数列： D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列 题型二等差中项及其应用 例2(1)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10，则m和n的等 差中项是 答案6 解析由题意得m十2n=8×2=16,2m十n=10×2=20,) .3(m+n)=20+16=36,,∴.m+n=12, ∴.m+n2=6. (2)已知1a,1b,1c是等差数列，求证：b十ca,a+cb,a+bc也是等差数列. 证明.1a,1b,1c成等差数列， ∴.2b=1a+1c,即2ac=b(a+c). .'b+ca+a+bc=c (b+c)ta (a+b)ac =a2+c2+b (a+c)ac=a2+c2+2acac =2(a+c)2b(a+c)=2(a+c)b, ∴.b+ca,a十cb,a十bc成等差数列. 思维升华等差中项应用策略 (1)求两个数x,y的等差中项，即根据等差中项的定义得A=x十y2. (2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a,b, c成等差数列，则有a十c=2b:反之，若a十c=2b,则a,b,c成等差数列. 训练2在一1与7之间顺次插入三个数α，b,c使这五个数成等差数列，求此数 列. 解，一1，a,b,c,7成等差数列，，b是-1与7的等差中项，.b=一1+72 =3. 又a是一1与b的等差中项， ∴.a=-1+b2=-1+32=1. 又c是b与7的等差中项， ∴.c=b+72=3+72=5. .该数列为一1,1,3,5,7. 题型三等差数列的通项公式及其应用 角度1等差数列通项公式的应用 例3在等差数列{an}中， (1)已知a1=2,d=3,n=10,求am: (2)已知a1=3,am=21,d=2,求n: (3)已知a1=12,a6=27,求d: (4)已知d=一13，a=8,求a41和am 解(1)am=a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29. (2)由an=a1+(n-1)d得3+2(n一1)=21，解得n=10. (3)由a6=a1+5d得12+5d=27,解得d=3. (4)由a=a1十6d得a1-2=8,解得a1=10, 所以am=a1+(m-1)d=10-13(n-1)=-