4.3.2 等比数列的前n项和公式 讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

11等比数列的前n项和公式 课标要求1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.2理解等比数列的通项公式与 前n项和公式的关系 素养要求在探索等比数列的前n项和公式的过程中，发展数学运算和逻辑推理 素养 问题导学预习教材·必备知识探究 一、等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 Sn=nal,q=lal (1-qn)1-q),Sn=nal,q=lal-angl-g), 公式 91 q#1 温馨提醒(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q=1和g ≠1进行分类讨论：(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数：（例如1+2+22 +…十2=1×(1一2n+1)1一2)：(3)公式二中的am在求和时，表示数列的最后 一项：（例如1+2+22+…+2m=1一2n×21-2) 二、等比数列前n项和公式的函数特征 (I)当公比g≠1时，设A=alg一1，等比数列的前n项和公式是Sn=4(-1)即 S是n的指数型函数， (2)当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=2@,S,是n的正比例函数. 温馨提醒当g≠1，Sn=a1(1-gn)1一q=a11-q-a11一qg",所以Sm=A一A d的结构形式 三、错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法： (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前项和，即若 bm是公差d≠0的等差数列，{cn是公比q≠1的等比数列，求数列bncn}的前n 项和S,时，可以用这种方法 温馨提醒错位相减法求和适用于am=(n十b)g”结构形式。 互动合作研析题型·关键能力提升 题型一等比数列基本量的运算 例1在等比数列{an}中， (1)S2=30,S3=155,求Sm: (2)a4十a3=10,a4十a6=54,求S5 (3)a1十an=66,a2am-1=128,Sm=126,求q. 解(1)由题意知a1(1+g)=30,a(1+q+q2)=155,) 解得a1=5,g=5)或al=180,56). 从而Sm=5(1-5n)1-5=14×5n+1-54 S=\a\vs4alcol(1-bilc\(rcVre\6)) =\alvs4\al col(1-\b\lc(re)11. (2)法-由题意知a1+al92=10,54), 解得a1=8,12),从而S5=a1(1-g5)1一q=312 法二由(a1十a3)g3=a4十a6, 得g3=18,从而q=12 又am1+a3=a(1+q2=10, 所以a1=8,从而S5=a1(1-g5)1-q=312. (3)因为a2an-1=414m=128, 所以a1,am是方程x2-66x十128=0的两根. 从而a1=2,an=64或an=2,a1=64.) 又Sm=a1-anql-q=126,所以g为2或12. 思维升华l.在等比数列{am}的五个量，a1,q,am,n,Sn中，已知其中的三个量， 通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体 应用 2.在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q=1或q≠1进行判断，若两 种情况都有可能，则要分类讨论， 训练1已知数列{am}是首项为a1,公比为q的等比数列，其前n项和为Sm,且有 5S2=4S4,求公比g的值， 解当g=1时，由5S2=4S4知10a1=16a1,则a1=0,不合题意，故q≠1. 当q≠1时，由5S2=4S4知5al(1-g2)1-q=4al(1一g4)1-9, ∴.5(1-q2)=4(1-g), 解得1+g2=54,即q=±12. 题型二等比数列前n项和公式的函数特征应用 例2数列{an}的前n项和Snm=3”一2.求{an}的通项公式，并判断{am}是否是等比数 列. 解法-当n≥2时，a,=Sn-Sm-1=(3”-2)-(3”-1-2)=23”-1 当n=1时，4=S1=31-2=1不适合上式 .an=1,n=1,2×3n-1,n22.) 由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 法二由等比数列b}的公比q≠1时的前n项和Sm=Ag+B满足的条件为A= 一B,对比可知Sn=3n一2，一2≠一1，故{an}不是等比数列. 思维升华(1)已知Sm,通过a,=S1,n=1,Sn一Sn一1,22求通项am,应特别 注意n≥2时，an=Sm一Sm-1 (2)若数列{am}的前n项和Sm=A(g一1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{am}是等比 数列。 训练2若{a}是等比数列，且前n项和为Sn=3”-1十t,则t= 答案一13 解析显然g≠1，此时应有S=A(g"一1)， 又Sn=13X3m+t,∴.1=-13 题型三利用错位相减法求数