2024年中考数学专项集训课件第四部分 图形的性质第22课时 与圆有关的位置关系

第22课时 与圆有关的位置关系 第四部分 图形的性质 2024中考数学专项集训 1．[2023·营口] 如图，在△ ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E. 过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D. (1)求证：∠D＝∠EBC； 证明：∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠AEB＝90° . ∴∠ABE＋∠BAC＝90° . ∵ AD为⊙O的切线，∴∠DAB＝90° . ∴∠DAC＋∠BAC＝90° . ∴∠DAC＝∠ABE. 又∵ AB＝AC，∴∠ ACB＝ ∠ ABC. ∵∠ACB＝∠D＋∠DAC， ∴∠D＋ ∠DAC＝∠ABC＝∠ABE＋∠EBC. ∴∠D＝ ∠EBC. (2)若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径. 解：设半径为a，则AB＝AC＝2a，CE＝AC－AE＝2a－3. 由(1)得∠ DAB＝90°，∠ AEB＝90°，∠ D＝ ∠ EBC， ∴∠ CEB＝90°＝ ∠ DAB，∴△ ADB ∽△ EBC. ∴＝. ∵ CD＝2BC，∴＝，即＝. 解得a＝. ∴⊙O的半径为. 2．[2023·鞍山] 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径， 过点D 作DF⊥BC，交BC 的延长线于点F，交BA的延长线于点E， 连接BD. 若∠ EAD＋∠ BDF＝180° . (1)求证：EF为⊙O的切线； 证明：如图，连接OD. ∵∠ EAD＋∠BDF＝180°，∠EAD＋∠BAD＝180°， ∴∠ BDF＝∠BAD. ∵ AB 为⊙O的直径，DF⊥BC， ∴∠ADB＝90°，∠ BFD＝90° . ∴∠BDF＋ ∠DBF ＝∠BAD＋∠ABD＝ 90° . ∴∠DBF＝ ∠ABD. ∵ OB＝OD，∴∠ ABD＝ ∠ ODB. ∴∠DBF＝∠ODB. ∴ OD∥BF. ∴∠ODE＝∠F＝90°，即OD ⊥ EF. 又∵ OD为⊙O的半径，∴ EF为⊙O的切线. (2)若BE＝10，sin∠BDC＝，求⊙O的半径. 解：如图，连接AC，则∠ BAC＝ ∠ BDC. ∵ AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90° ＝∠F. ∴ AC∥EF. ∴∠E＝∠BAC＝∠BDC. 在Rt△BFE 中，BE＝10，sin E＝sin ∠BDC＝， ∴ BF＝BE·sin E＝10×＝ . 设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝BE－OB＝10－r. ∵ OD∥BF，∴△ODE∽△BFE. ∴＝，即＝，解得r＝4. ∴⊙O的半径为4. 3．[2023·江西] 如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 D 4．[中考·吉林] 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4. 以点A 为圆心，r 为半径作圆，当点C 在⊙ A 内且点B 在⊙ A外时，r 的值可能是(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 C 5．[2023·眉山] 如图，AB 切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A 的度数为(　　) A. 25° B. 35° C. 40° D. 45° C 6．[2023·武汉]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB， 以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E. 若 ＝，则sin C 的值是( ) A. B. C. D. B 7．[2023·邵阳]如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B， 连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为_________. 50° 8．[2023·嘉兴、舟山] 如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在BDC上. 已知∠A＝50°，则∠D的度数是_________. ⌒ 65° 9．如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P 是⊙O上任意一点，过点P 向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PE＋PF，则t 的取值范围是_______. 点拨：设⊙O与AC，BC的切点分别为D，G，连接OG， OD，延长DO 交CB 于点H，则∠OGC＝∠ODC＝∠OGH＝ 90° . ∵∠ACB＝ 45°，∴∠OHC＝ 45° . ∴ OH＝OG＝2.∴ DH＝2＋2.∴ CD＝2＋2. 延长EP 交CB 于点Q，易得PQ＝PF. ∵ t＝ PE＋PF，∴ t＝PE＋PQ＝EQ. 易得CE＝EQ，∴ t＝CE. 当EP 与⊙O 相切且点P 在圆心O 的右侧时，t 有最大值， 易得此时t＝2＋4； 当EP 与⊙ O 相切且点P 在圆心O 的左侧时，t 有最小