1.周期变化（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第一章《三角函数》 《1.周期变化》教学设计 【教学目标】 1.通过生活实例及部分呈周期变化的函数，得到周期函数及周期、最小正周期的概念；（数学抽象） 2.对周期变化的函数有初步的了解与认识，能够用数学刻画生活中的周期变化，用数学的观点和从数学的角度认识实际问题.（逻辑推理） 【教学重点】 周期函数及周期的概念 【教学难点】 了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期. 【教学过程】 一、实例分析，提出问题 情境1：在日常生活中，钟表上的时针、分针、秒针每经过一周就会重复运动，这种变化是一种周期变化； 情境2：在自然界中，太阳东升西落、昼夜循环、潮涨潮落、冬去春来(四季更替)等也是一种周期变化. 问题1：在日常生活和自然界中，我们还能感受到哪些周期变化的实例？请举例说明？ （地球自转，星期、月份的表示……） 问题2：我们怎么从数学的角度刻画周期变化呢？ 情境3：如图1-1，水车的示意图，水车上点P到水面的距离为y，假设水车匀速，则每经过时间t，点P又回到原来的位置，那么y每经过时间t就会取相同的值，因此y随时间t的变化是周期变化. 下面我们将从两个具体的函数的例子来探究从数学的角度刻画周期变化. 例1 讨论函数f(x)= (-1)[x]的图像和性质. [分析]对于每一个实数x，其函数值y=[x]是不超过x的最大整数.例如当x∈[0,1)时，[x]=0，(-1)[x]=1, x∈[1,2)时，[x]=1，(-1)[x]= －1, x∈[2,3)时，[x]=2，(-1)[x]=1，x∈[3,4)时，[x]=3，(-1)[x]= －1，因此y=[x]不是偶数就是奇数，因此当[x]为偶数时,函数f(x)= (-1)[x]=1;当[x]为奇数时,函数f(x)= (-1)[x]= －1. （1）根据以上分析，请同学尝试画出函数f(x)= (-1)[x]的图像；（如图1-2） （2）观察该函数的图象的变化规律； （3）你能从函数图象中得到哪些函数性质？ 观察图1-2，可以得到，对于任意一个实数x，每增加2的整数倍，其函数值保持不变，这种变化是重复进行的，函数f(x)= (-1)[x]的变化是周期性的. 例2 讨论函数f(x)= x－[x],画出它的图象并观察其性质. [分析] 函数f(x)= x－[x]的含义是一个数减去它的整数部分，只保留其小数部分. （1）根据以上分析，请同学们尝试画出函数f(x)= (-1)[x]的图像；（如图1-3） （2）观察该函数的图象的变化规律； （3）你能从函数图象中得到哪些函数性质？ 观察图1-3，可以得到，对于任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变，这种变化是重复进行的，函数f(x)= x－[x]的变化是周期变化，这个函数是物理中很有用的锯齿波函数. 二、抽象概括，得出概念 （1）同学们能尝试用数学语言描述周期变化吗？ （2）教师对学生做出的关于周期变化的描述进行适度的引导、完善. 1.周期函数的定义 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期. 思考：周期函数的周期是否是唯一的？ 提示：周期函数的周期不止一个.例如例2中的函数f(x)= x－[x]，任何一个非零整数都是它的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期. 【注】若不加特别说明，本书所指的周期均为最小正周期. 3.概念再认识 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1) 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果f(x＋2)＝f(x)，那么函数y＝f(x)的周期T=2.(　√　) (2)若函数y＝f(x)的周期T=7，则f(x＋7)＝f(x). (　√　) (3) 当n∈N时,函数y＝f(x)的取值为-1,0,1，-1,0,1，,⋯ 那么函数y＝f(x)的周期T=2. (　×　) 2. （多选题）下列函数图象中具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 解：抓住周期变化的特点，重复性，可知A、B、D为周期函数.对于C，图象不重复出现，故不合题意. 三、典例剖析，理解概念 例3.讨论函数y=7+(-1)n,n∈N 是否为周期函数，如果是,请指出它的周期. [分析] n∈N, N是自然数，当给n赋值时，你发现了什么规律？ 解 当n∈N时,该函数的取值为8,6,8,6,8,⋯可见它是周期函数，且周期T=2. 四、迁移应用，掌握概念 课本P3练习第2、3题 2．函数满足，那么，它是以为周期的函数吗？ 【答