2024年九年级中考数学专题复习：四边形证明题（基础题）

2024年九年级中考数学专题复习：四边形证明题（基础题） 1．如图，把平行四边形纸片沿折叠，点C落在点处， 与相交于点E． 求证： 2．如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，且，连接，，，交于点O，已知． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求对角线的长． 3．如图，矩形中，，，为上一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，旋转角等于，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)求的长． 4．如图，在 中，平分 ，交 于点 ，，，． (1)求证：； (2)求的长． 5．如图，在中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，求对角线的长． 6．如图，在矩形中，，，点E是边上的一个动点（不与点B、C重合），连接，并作，交边于点F，连接，设，． (1)①求证：； ②当x为何值时，y的值为2； (2)当x为何值时，也与相似． 7．已知为两对角线的交点，直线过顶点，且绕点顺时针旋转，过点，分别作直线的垂线，垂足为点，． (1)如图1，若直线过点，求证：； (2)如图2，若，，求的度数； (3)如图3，若为菱形，，，，直接写出的长． 8．如图，矩形四个顶点E、F、G、H分别在平行四边形的四条边、、、上．    (1)求证：； (2)若四边形为菱形，E为的中点，，求． 9．如图，在平行四边形中，F为边上一点，连接并延长至点E，连接．已知，． (1)求证：； (2)连接与相交于点O，连． ①若，求证：四边形为菱形； ②若，，请求出此时的长． 10．如图1，在边长为2的正方形中，点是射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作正方形． (1)当点在线段上，连接，求证：； (2)当点是线段中点，连接，求线段的长； (3)如图2，点在线段的延长线上，连接，若的延长线恰好经过的中点，求线段的长． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，， ．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求四边形的面积． 12．如图，在矩形中，点M是上一点，DN垂直平分，交AC于点E，交于点N，连接并延长交DC于点G，若． (1)求证：点N是的中点； (2)设，试用含a的代数式表示的长． 13．在正方形中，为对角线上的一点． (1)如图1，过点作，，连接，，请猜想与的关系，并证明． (2)如图2，连结，过点作的垂线交于点，在上找到一点，使得； ①求证：为等腰三角形； ②连结，若，且，求的长（用表示）． 14．如图，点E是正方形边上一点，过E作的垂线，交于点F，交的延长线于点G．    (1)求证：； (2)若正方形的边长为4． ①当点E是的中点，求的长； ②当取最大值时，的长为多少？ 15．如图1，在中，．以边、边向外分别做正方形、正方形．    (1)连接，，求证：； (2)连接，若，，求的值； (3)若点是中点，连接并延长交为点，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵沿折叠，点C落在点处， ∴，， 在和中 ∴， ∴． 2．（1）证明：四边形为平行四边形， ，． 点E在的延长线上，， ，． 四边形是平行四边形． ，， ． ，即． 平行四边形是矩形． （2）解：由（1）知， ，， ． ． 3．1）证明：四边形是矩形， ， ， ， 由旋转性质知：， ，即， 在和中，， ， ； （2）解：由（1）得：， ∴，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，． 4．（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴； ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是直角三角形，且； （2）解：∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得：． 5．（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， 解得：， ∴． 6．（1）①∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 解得：，或者，经检验，两个根均符合题意； ∴当x为2或6时，y的值为2； （2）∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 第一种情况：∵， ∴， ∴， 即有：， 将代入， 可得：， 解得：，（，不符合题意舍去）， 第二种情况：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 此时不符合题意，故此种情况不存在， 综上：当x为时，也与相似． 7．（1）证明：点为两对角线的交点， ， ∵直线过顶点，过点分别作直线的垂线，垂足为点， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图，连接，并延长交于点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ∴在中，， ， 是等边三角形， ． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 设，则， 在中，， ， 在中，，即， 解得， ， ， ，即， 是梯形的中位线， ，即， 解得， 所以的