2024年中考数学二轮专题复习：圆的模型综合题

圆的模型型综合题 本节重点、难点 本节重点：圆切线的证明、三角形相似的模型及提取、锐角三角函数在几何中的应用 本节难点：圆与相似三角形、圆与锐角三角函数、圆与几何图形所形成的函数问题 教学目标： 1、掌握三角形相似模型、锐角三角函数的定义及性质、几何图形的变换（相似表示线段长） 2、掌握函数与方程的含义，结合分类讨论思想，求出最后一问的答案 知识点：河南特色“圆” 【知识梳理】 该题型中的圆与生活中的例子息息相关，从生活中的例子提取数学模型，该类型符合近几年河南中考对于学生的常规要求，提高学生的解决问题的能力。 该类题型通常模式为：第一问常规证明圆的切线、第二问求线段长或某一个角的三角函数；第一问常规考察，第二问综合性强，通常需要利用三角形相似来解答问题。 【例题精讲】 1．（2022·河南·统考中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°． (2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长． 【随堂精练】 1．（2022·河南焦作·统考一模）中国5A级旅游景区开封市清明上河园中水车园的水车由立式水轮、竹筒、支撑架、水槽等部件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽流到田地，与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上，且，若点P到点C的距离为32m，立式水轮的最低点到水面的距离为2m．连接． (1)求证：是的切线； (2)请求出水槽的长度． 2．（2022·河南开封·统考二模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． (1)若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由； (2)若，求阴影部分的面积．（结果保留） 3．（2022秋·河南许昌·九年级统考期中）如图1，某厂家设计生产一款中药碾槽，碾槽底部为近似圆弧形（本题以圆弧记），槽内可以安放一个带轴的碾轮．将中药放入碾槽中，使碾轮滚动，可将中药粉碎，碾槽简易示意图如图2，经测量碾槽两端距离为32cm，碾轮直径为20cm，碾轮中心轴的直径为4cm，设碾轮中心轴的截面圆圆心为，当碾轮经过碾槽最低点时，恰好与相切于点，请求出碾槽底部圆弧所在圆的半径． 4．（2023•浉河区三模）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观 察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O交于点E，与BC交于点B，连接AC，OC，CE，BD＝CD＝3dm，OA⊥AC． （1）求证：∠B＝∠ACO； （2）求CE的长． 5．（2023•邓州市二模）如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对于当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AB一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD． （1）求证∠A＝∠BDC； （2）若BC＝2米，米，求车轮的半径． 6．（2023•夏邑县校级三模）水车是黄河沿岸一种古老的提水灌溉工具，小明和小红去参观一个黄河水车公园，发现一些和数学有关的问题．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O上过点A的切线相交于点E．小红说：“△EAD一定是等腰三角形．” （1）小红说的对吗？请说明理由． （2）小明说：“如果AB＝40米，AD＝30米，就能求出BD的长．”请写出求解过程． 7．（2023•浉河区校级三模）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两