2024年中考九年级数学专题提升训练：相似三角形问题B（二次函数综合）

2024年中考九年级数学专题提升训练：相似三角形问题B （二次函数综合） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．如图，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，对称轴与x轴交于点P．    (1)抛物线的解析式为__________； (2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接，过点M作的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN． ①若与相似，求点M的坐标； ②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时这一边与线段具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请写出“对称点”M的坐标． 2．抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点左边，与y轴交于C点，顶点为M．    (1)当时，求点A，B，M的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，若P为抛物线对称轴上一个动点，且为等腰三角形，求P点坐标； (3)如图2，若一次函数的图象过A点且与抛物线交于另一点F，交对称轴于E，轴，，．若，求的值． 3．如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与直线交于两点，点在轴上，过点作轴于点，且．    (1)求抛物线的解析式． (2)将沿方向平移到． ①如图2，若经过点与轴交于点，求的值． ②如图3，直线与抛物线段交于点，与直线交于点，当顶点在线段上移动时，求与公共部分面积的最大值． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得，求的最大值及此时点的坐标； (3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点是平移后新抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，连接，直接写出所有使得的点的横坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，为常数），点、分别在轴和轴上，且，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，以点为顶点的抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中拋物线的对称轴上有一点，且以点为顶点的三角形与相似，求出所有满足条件的点的坐标． 7．如图1，抛物线与轴交于A、B两点（A在B的左侧），与轴交于C点，点P为线段上的一个动点（点P与O、B不重合），P点横坐标为t，过点P作轴交于点N，交抛物线于点M． (1)若，求t的值； (2)如图2，的延长线交抛物线于点Q，若，求t的值． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点且，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)求面积的最大值及此时D点的坐标； (3)抛物线上是否存在点D，使得以点O、D、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线：与x轴交点为A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点G是的中点．    (1)求点A，B的坐标及抛物线的对称轴； (2)直线与抛物线交于点M，N且，求抛物线解析式． *提示：如果一元二次方程的两个根是，，那么，； (3)已知点P是（2）中抛物线上第四象限内的动点，过点P作x轴的垂线交于点E，交x轴于点F．若以点C，P，E为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 10．如图，抛物线的顶点是，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； (3)P为抛物线第一象限内一点，连接，交于点E，若．当S最大时，当直接写出点P的坐标和S的最大值． 11．如图，抛物线经过原点和点，它的对称轴交抛物线于点．两点在对称轴上（点在的上方），且关于点对称，直线交抛物线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），若的面积为，求点的坐标； (3)如图（2），若，求点的坐标． 12．已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点．若点为轴上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．    (1)直接写出，，三点的坐标； (2)①如图1，直线交直线于点，若点恰好在线段的垂直平分线上，且时，求的值； ②如图2，连接，，抛物线上存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的解析式及的函数解