2024年中考九年级数学专题提升训练：线段周长问题C（二次函数综合）

2024年中考九年级数学专题提升训练：线段周长问题C （二次函数综合） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点，过点作轴交抛物线于点．若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．点在线段的下方． (1)求与的值． (2)求线段的最大值． (3)作点关于直线的对称点，连结，．若，求的坐标． 2．如图，过原点的抛物线与轴的另一个交点为，且抛物线的对称轴为直线，点为顶点 (1)求抛物线的解析式 (2)如图（1），点为直线上方抛物线上一动点，连接，，，线段交直线于点，若的面积为，的面积为，求的最大值 (3)如图（2），设直线与抛物线交于，两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长是定值． 3．概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，经过点A，并与点A的对边相切于点，则该就叫做的切接圆，根据上述定义解决下列问题：    (1)已知，中，． ①如图2，若点在边上，，以为圆心，长为半径作圆，则是的“切接圆”吗？请说明理由． ②在图3中，若点在的边上，以为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，则的半径（直接写出答案）． (2)如图4，在中，．试说明：以抛物线图像上任意一点为圆心，长为半径作圆，是的“切接圆”． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点．连接、． (1)求的面积； (2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，交于点，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移4个单位，向下平移个单位，点M为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 5．如图，抛物线经过两点． (1)求出抛物线的解析式； (2)是抛物线在第一象限上的一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若抛物线上有一点（点不与点重合），使得点与点到直线的距离相等，请直接写出点坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段的长度随m的增大而增大． ①求m的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的m的取值范围． 7．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点左侧．点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点是抛物线对称轴上的一个动点时，求当最小时，点的坐标； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值． 8．如图，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C，点P是抛物线上的一动点，已知点，，且． (1)求抛物线和直线的表达式． (2)若点P在直线的上方，过点P作，与交于点E，垂足为点F，当时，求点P的坐标． (3)若点M为x轴上一动点，当B、C、P、M四个点组成的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 9．【问题初探】 （1）数学活动课上，王老师带领学生回顾初二研究过的一个问题：如图1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，求的面积． ①小颖经过分析后，给出如下解题思路：如图2，延长与x轴相交于点D，利用三角形的面积差即可解决问题． ②小慧又给出另一种解题思路：如图3，过点C作x轴的平行线交于点D，将所求问题转化为两个三角形的面积和． 请你选择一个同学的解题思路，写出解答过程．    【类比分析】 （2）王老师发现之前两个学生都运用了转化思想，将无法直接利用点的坐标求三角形面积的问题，通过割补的方式将其转化为有一边在坐标轴上或平行于坐标轴，进而利用三角形的面积和或差解决问题． 为帮助学生更好地感悟转化思想，王老师结合当前所学的二次函数，提出下面问题，请你解答． 如图4，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，，其中，且与抛物线：相交于点O，B． ①若点的坐标和拋物线的解析式； ②若点分别为抛物线和抛物线上之间的动点，连接，，求四边形面积的最大值． 【学以致用】 （3）在（2）所研究问题的前提下，进一步探索下面的问题： 设抛物线的顶点为P，连接，过点O任意作一条直线l交线段于点Q，分别经过点作直线l的垂线，垂足分别为，探究是否存在最大值，若存在，求出其值；若不存在，说明理由．    10．【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数