2024年中考九年级数学专题提升训练：特殊三角形问题B（二次函数综合）

2024年中考九年级数学专题提升训练：特殊三角形问题B （二次函数综合） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．在平面直角坐标系中，抛物线(b、为常数)，经过点和． (1)求该抛物线函数表达式； (2)当时，函数值，求的取值范围； (3)点为此函数图象上任意一点，横坐标为，过点作轴，交直线于点当点和点不重合时，以为边，点为直角顶点向y轴负方向作等腰直角三角形． ①当点到抛物线顶点纵坐标所在直线的距离是6时，求m的值； ②当抛物线在等腰直角三角形内部(包括边界)的点的纵坐标最大值与最小值之差是1  时，直接写出m的值． 2．已知抛物线与轴交于点，它的顶点为点，点，关于原点的对称点分别为，，若，，，中任何三点都不在一条直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线．    (1)如图（）所示，求抛物线的伴随直线的解析式； (2)如图（）所示，若抛物线的伴随直线是，且顶点横坐标为．求此抛物线的解析式； (3)如图（）所示，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形． 求，的值 在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．顶点为D点，点E为抛物线对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若是以为斜边的直角三角形，请求出点E的坐标： (3)抛物线对称轴上是否存在点E，使得取得最小值，若不存在，请说明理由，若存在，求出点E的坐标，并求出的最小值． 4．如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴． （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）请直接写出点A，C，D的坐标； （2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标； （3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 7．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP； （3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标． 8．如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 9．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． (1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； (2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小； (3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动