2024年中考九年级数学专题提升训练：特殊三角形问题A（二次函数综合）

2024年中考九年级数学专题提升训练：特殊三角形问题A （二次函数综合） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．    (1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式； (2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值； (3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与抛物线在同一个坐标系中（，均为常数，且），已知抛物线过点，过点作直线轴，交抛物线于另一点．    (1)________，点的坐标为________； (2)当抛物线经过点时． ①求抛物线的解析式； ②设直线与抛物线的另一交点记作，求的值； (3)设抛物线的顶点为，当为等腰三角形时，直接写出的值． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知，．    (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限抛物线上的一个动点，当点D在运动过程中，求的面积的最大值，并写出此时点D的坐标； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线：的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)当时，判断的形状； (2)抛物线与抛物线关于原点中心对称，抛物线与轴相交于点．在轴右侧有一点，使得是等腰直角三角形，并且点在抛物线上，求此时抛物线的解析式． 5．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点、B（点B在点A右侧），抛物线与y轴交点为G，抛物线与y轴交点为H．    (1)求a的值． (2)如图①，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接，点F在x轴上，当点F的坐标为何值时，是以为底的等腰三角形？ (3)如图②点M是x轴下方抛物线上的一个动点，过点M作轴于点N，交抛物线于点D，试探究：在M点的运动过程中，的比值是否为一个定值；如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴和y轴分别交于点A，B，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点C为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点E，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．若是以为腰的等腰三角形．写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 7．如图：抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点A、C的拋物线（a、b为常数，且）与x轴的另一个交点为，抛物线的对称轴l与x轴交于点H． (1)求点A的坐标和抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．    (1)抛物线过定点，直接写出定点的坐标（_______，_______）； (2)如图1，当时，把过点的直线向下平移个单位后，交抛物线于，（点在对称轴的右边），交抛物线对称轴于，交轴于，若，求的值； (3)如图2，抛物线与轴交于点，过作轴与抛物线交于点，在直线上是否存在唯一一点，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．    (1)求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴； (2)若已知x轴上一点，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点,点P是抛物线上一个动点，连接      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P的横坐标为2，求的面积； (3)如图2所示，当点P在直线