8.6.2直线与平面垂直的判定讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

直线与平面垂直的判定 知识回顾 1．定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直，记作：． 直线叫平面的垂线，平面叫直线的垂面，直线与平面的交点叫垂足． 画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直． 2．点到平面的距离 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．过平面外一点向平面引垂线，则点和垂足之间的距离叫点到平面的距离． 类似地，从直线外一点引这条直线的垂线，这个点和垂足间的距离叫这个点到这条直线的距离． 3．直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 符号表示：若，，，，，则． 推论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（可作为判定定理用） 符号表示：若，，则． 4．思考下列问题 （1）分别说出长方形的侧棱与底面之间、圆柱（圆锥）的轴与底面之间的位置关系． （2）准备正三角形、矩形纸片各一张，分别对折后适当展开并竖立在桌面上，观察折痕与桌面有怎样的位置关系． （3）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面吗？ 典型例题 例1 如图，正方体的棱长为． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求正方体的对角线的长； （4）求点到平面的距离． 例2 如图，已知，于点，于点，于点，求证： （1）； （2），，，四点共圆． 例3 如图，在多面体中，，，且，，为的中点，求证： （1）平面； （2）平面． 例4 如图，在三棱锥中，平面，，于点，于点．求证： （1）平面； （2）． 巩固训练 一、单选题 1．以下条件中，能判定直线平面的是（ ） A．与平面内的一个三角形的两边垂直 B．与平面内的一条直线垂直 C．与平面内的两条直线垂直 D．与平面内的无数条直线垂直 2．从平面外一点引与平面相交的直线，使点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数可能是（ ） A．条或条 B．条或无数条 C．条或条 D．条或条或无数条 3．如图，是的斜边，过点作所在平面的垂线，连接，，过点作于点，连接，那么图中直角三角形的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，在空间四边形中，，，，，分别是对角线，的中点，则（ ） A．与，之一垂直 B．与，都垂直 C．与，都不垂直 D．与，是否垂直不确定 5．如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，现沿，，把这个正方形折成一个几何体，使，，三点重合于点，有下列五个结论： ①平面；②平面；③平面；④平面；⑤平面．其中正确的结论是（ ） A．①和③ B．②和⑤ C．①和④ D．②和④ 二、多选题 6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（    ） A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF 【答案】BC 【详解】解：由题意可得：AH⊥HE，AH⊥HF. ∴AH⊥平面EFH，而AG与平面EFH不垂直.∴B正确，A不正确. 又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确. HG与AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正确.D不正确. 故选：BC. 三、填空题 7．过直线外一点作直线的垂线，有________条； 过直线外一点作直线的垂面，有________个； 过直线外一点作直线的平行线，有________条； 过直线外一点作直线的平行平面，有________个． 8．已知线段在平面外，，两点到平面的距离分别是，，则线段的中点到平面的距离是________． 9．如图，在正方体中，为上的点，则异面直线与所成的角是________． 四、解答题 10．如图，已知是菱形所在平面外一点，且． （1）求证：平面； （2）若是边长为的正三角形，求点到平面的距离的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与平面垂直的判定 例1 如图，正方体的棱长为． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求正方体的对角线的长； （4）求点到平面的距离． 【解析】(1)因为正方体的各个面都是正方形，所以，，又， 所以平面． （2）因为平面，所以，又，所以． 又在正方形中，，，所以平面． （3）． （4）点到平面的距离为． 例2 如图，已知，于点，于点，于点，求证： （1）； （2），，，四点共圆． 【答案】见详解． 【解析】证明：（1）如图，连接， 因为，，， 所以，，又， 所以平面，故，又，所以平面，所以， （2）过直线外一点所作的两个相交平面的垂面是唯一的， 所以，