6.4.3.2正弦定理讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

正弦定理 知识回顾 1．正弦定理 在中，各边和它所对角的正弦之比相等，即，（为外接圆的半径） 证：（1）如图，在中，，，，即，，，所以， （2）在斜三角形中，有三种证法，如下 证法1（等积法）在任意斜中， 等号两边同除以，即得 证法2：（外接圆法）如图，由为圆的直径，可得，所以 同理，，，所以 证法3：（向量法），如图，过点作单位向量垂直于 由，等号两边同乘以单位向量，得 即 所以 所以，即 同理，过点作单位向量垂直于，得，所以 2．正弦定理可解决两类有关三角形的问题 （1）已知两角和任意一边，求另外两边和一角。 （2）已知边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求另外的边和角 3．利用正弦定理讨论三角形解的个数 在中，已知，及角，则当，，满足什么关系时，三角形无解，有一解，有两解? （1）当角为锐角时： ①若时，无解；②若时，一解（直角）；③若时，二解（一锐、一钝）；④若时，一解（钝角）； 对应情形如图 （2）当角为直角或钝角时： ① 若时，无解；②若时，一解（锐角）； 典型例题 例1：（1）已知下列三角形的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答 ①，， ②，， ③，， ④，， （2）在中，，，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例2：（1）在中，已知，，，解这个三角形． （2）在中，已知，，，解这个三角形． 例3：（1）在中，已知，，当内角多大时，的长取得最大值？ （2）在中的三个内角满足，且，最长边为最短边的倍，求三个内角之比， 例4：在锐角中，角的对边分别为，且 （1）求角 （2）求的取值范围。 巩固训练 一、单选题 1.在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2.在中，若，则内角等于（ ） A. B. C. D. 3.已知的面积为，若，， 则内角等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 4.在中，内角的对边长分别为，且，，，那么满足条件的（ ） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 不能确定 5.在中，若，，，如果有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 6. 在中，角的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7. 在中，，则角B的值可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8.在中，若，，，则此三角形的最大边长为_____，外接圆半径为_____，面积为_____． 9.在中，若，，，则_____，_____． 10.在中，内角的对边长分别为，若，，则_____． 三、解答题 11.（1）在中，，，，求 （2）在中，，，，求 （3）在中，，，，求 12．已知的三边长分别为，且． （1）求内角的值； （2）若，求的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正弦定理 例1：（1）已知下列三角形的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答 ①，， ②，， ③，， ④，， （2）在中，，，，若有两解，则的取值范围为 A. B. C. D. 【解析】：（1）①因为，所以，，不可能，所以本题无解． ②由，得，所以本题无解． ③，所以或（舍去），故，，综上，，，． ④，或 当时，， 当时，， 所以三角形有两解：，，；，，． （2）选C．因为有两解，所以，即，得． 例2：（1）在中，已知，，，解这个三角形． （2）在中，已知，，，解这个三角形． 【解析】：（1）因为，由正弦定理，得，． （2）由正弦定理，得，因为，，所以，所以或． ①当时，，． ②当时，，． 例3：（1）在中，已知，，当内角多大时，的长取得最大值？ （2）在中的三个内角满足，且，最长边为最短边的倍，求三个内角之比， 【解析】：（1）由正弦定理得，于是，当且仅当，即时，的长取得最大值． （2）因为，又，所以． 而，所以，于是，因为，所以，，故． 例4：在锐角中，角的对边分别为，且 （1）求角 （2）求的取值范围。 【解析】（1）由正弦定理得，为锐角，故 （2）由，得，锐角得 由得 故 巩固训练 一、单选题 1.在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】提示：，． 2.在中，若，则内角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】提示：由正弦定理得，解得． 3.已知的面积为，若，， 则内角等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】提示：由，得，所以或 4.在中，内角的对边长分别为，且，，，那么满足条件的（ ） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 不能确定 【答案】C 【解析】提示：， 无解